高等数学---映射与函数

1基本概念函数概念小结作业思考题第一节映射与函数第一章函数与极限函数的特性反函数2一、集合(1)定义组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM,Ma.Ma(3)符号(4)表示列举法描述法(5)常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合.RRRQZNN,,,,,,*1.集合概念(2)有限集和无限集映射与函数3;,ABBA且不含任何元素的集合称为空集,,记作规定空集为任何集合的子集.(6)关系:BA子集(包含),;BxAx:BA相等,2.集合的运算并,交,(1)基本运算BAIABBAIABA∩B={x|xA且xB}A∪B={x|xA或xB}映射与函数4补,);(\IAAIAC直积或笛卡儿乘积:}.),{(ByandAxyxBA差,ABIA\B={x|xA且xB}A\BIABCB=AA()或映射与函数5(2)运算法则交换律:;,ABBAABBA结合律:,)()(CBACBA;)()(CBACBA分配律:),()()(CBCACBA;)()()(CBCACBA对偶律:,)(CCCBABA.)(CCCBABA映射与函数63.区间和邻域}{),(bxaxba开区间(a,b):oxab(1)有限区间}{],[bxaxba闭区间[a,b]:}{),[bxaxba半开区间[a,b):}{],(bxaxba半开区间(a,b]:oxaboxaboxab映射与函数7}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb(2)无限区间映射与函数8(3)邻域xaaa:),(aUao邻域的去心点.}0{),(axxaUo}.{),(axxaU点a的邻域U(a):以点a为中心的任何开区间.点a的δ邻域U(a,δ):U(a,δ)的实质:U(a,δ)=(a–δ,a+δ).点a的左δ邻域:(a–δ,a).点a的右δ邻域:(a,a+δ).问题：如何用邻域表示(1,2)呢？映射与函数9二、映射引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1,2,…,6}，入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为Y={301,302,303,304}．我们确定分配方案如下：{1}301，{2,3}302，{4,5}303，{6}304．引例(2)设X=Y={1,2,3,4}，规定对应法则：12，23，34，41．共同之处:在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与它对应。映射与函数101.映射概念(1)定义(2)要素设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y1;(2);3.fffDXfRRY=Ì()定义域对应法则()值域的范围：如，X={三角形}，Y={圆}，f：X→Y,对每个xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.映射与函数11注记.YRYRyRyxXfff，不一定；的原像不一定是唯一的中每个元素是唯一的；的像中每个元素映射与函数12(3)满射、单射和双射(一一映射)满射：单射：).()(2121xfxfxx双射（一一映射）：既是单射，又是满射.Rf=Y,即Y中任一元素都是X中某元素的像；映射与函数13补例1设X是一切非负实数所成的集合，Y={yyR,0y1}，f是从X到Y的一个映射，证明：f是从X到Y的一一映射。1+xxf(x)=．证明:①设yY，取x=1-yy，因为0y1，所以x0，即xX．我们有f(x)=1+xx1-11-yyy+y==y．所以f是满射。映射与函数14②设x1,x2X，2()()ff12112;=1+1+xxxxxx所以f是单射。综合(1)，(2)所述，f是一一映射。(4)几种常用的映射(算子)泛函f：X→Y(数集);变换f：X→X;函数f：X(实数集或其子集)→Y(实数集).映射与函数x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)152.逆映射与复合映射(1)逆映射问题：请分析补例1是否存在逆映射？设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到X的新映射g，即g：RfX，对每个yRf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y．这个映射g称为f的逆映射，记作f-1．其定义域Rf，其值域X．映射与函数16;fgDR复合映射的条件是(2)复合映射.)],([))((,::,:2121XxxgfxgfZXgfYYZYfYXg则复合映射：，且设映射注记:.们也未必相同即使二者都有意义，它未必有意义，有意义，fggf两个映射的复合是有顺序的;映射与函数17３.举例(1):(0,1)(,0),(0,1),()ln:(,0)(,0),(,0),(),gxgxxfufuu???-ギ-???设映射映射例４映射与函数2(2):[1,1],,[1,1],()arcsin,22:[0,),,()gxgxxfRuRfuupp轾犏-??=犏臌???设映射映射18三、函数,,)(Dxxfy1.函数概念(1)定义设D是实数集，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为：其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，一般记作.,DDDff即(2)要素定义域D及对应法则f．映射与函数19注记:区别符号f与f(x)的不同含义；函数是特殊的映射.掌握函数定义域D的确定原则:(3)函数定义域D的确定(ⅰ)对有实际背景的函数，根据问题的实际意义确定;(ⅱ)对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许之取值而定（此为自然定义域）.映射与函数20(4)单值函数与多值函数若对xD唯一yRf，则y=(x)单值；若xD多个yRf，则y=(x)多值。如，x2+y2=r2(r0)确定y是x的二值函数。对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支。映射与函数21例５函数y=2yxo1y=2映射与函数22例6绝对值函数yxo1-110,,0,xxxxxyy=|x|映射与函数23010001sgnxxxxy当当当xxxsgn例７符号函数yxo1－1xysgn映射与函数24例81,1,10,2)(xxxxxfy函数xyo21y=f(x)分段函数映射与函数25补例2设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分钟是6.60(元),以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计)另加1.20(元).显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位:分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的图形。解：记长途电话费为C(t)．由于t0，于是函数的定义域为(0,+)．从给出的信息，我们有6.60,03,6.60+11.20,34,C()=6.60+21.20,45,tttt映射与函数26取整函数y=[x]其中[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线例9映射与函数27例10.,0,,1)(CQxQxxDy狄利克雷(Dirichlet)函数映射与函数282.函数的几种特性(1)有界性定义,)(,,,11成立有若KxfXxRKDXf称为上界；上有上界在则称函数1,)(KXxf,)(,,,22成立有若KxfXxRKDXf称为下界；上有下界在则称函数2,)(KXxf,)(,,0,成立有若MxfXxMDXf.,)(否则就称无界上有界在则称函数Xxf映射与函数29说明有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念．命题1：比如，y=1/x在(1,+)有界，在(0,1)内无界(无上界,但有下界).函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。映射与函数30(2)函数的单调性如果区间的定义域为设函数,,)(DIDxf恒有时当及上任意两点对于区间,,2121xxxxI上是在区间则称函数Ixf)()(xfy)(1xf)(2xfxyoI定义单调增加(或单调减少).)(xfy)(1xf)(2xfxyoI1x2x1x2x注意函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念．(x1)(x2)(或(x1)(x2))映射与函数31(3)函数的奇偶性偶函数有对于关于原点对称设,,DxDyx)(xf)(xfyox-x)(xf定义则称f(x)为偶函数(或奇函数).奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfyf(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))注意:有非奇非偶的函数映射与函数32补例3判别的奇偶性。+3=ln-3xfxx分析-+3-3-=ln=ln=-,--3+3xxfxfxxx补例4试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。分析设(x),g(x)为两偶函数,即(-x)=(x),g(-x)=g(x).记h(x)=(x)+g(x),则h(-x)=(-x)+g(-x)=(x)+g(x)=h(x),故两偶函数之和为偶函数。映射与函数33(4)函数的周期性通常说周期函数的周期是指其最小正周期;设函数f(x)的定义域为D，若存在一个正数l，定义)()(,),xflxfDlxDx且有（使得恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期．xyoxf(x)x+lf(x+l)说明并非每个周期函数都有最小正周期．如狄利克雷(Dirichlet)函数。映射与函数340x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(1yfx反函数o３.反函数与复合函数(1)反函数定义设函数f:D→f(D)是单射，则称其逆映射DDff)(:1为函数f的反函数．映射与函数35说明反函数的习惯表示法若直接函数y=f(x)，x∈D，).(),(1Dfxxfy则反函数记为直接函数与反函数的单调性具有一致性．直接函数与反函数的图形特点y=x)(xfyxyo),(abQ),(baP)(1xfy关于直线y=x对称．映射与函数36(２)复合函数定义设函数y=f(u)，,1Du函数u=g(x)，,Dx,)(1DDg且则称函数Dxxgfy)],([为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数．说明(1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两个函数的复合是有条件的；(2)函数复合可以推广到多个函数．问题：y=arcsinu和u=2+x2和能否复合？映射与函数37补例5设f(x)的定义域是(0,1)，试求复合函数f(lnx)的定义域。分析y=(lnx)由y=(u)和u=lnx复合而成，0lnx1，解出1xe．故f(lnx)的定义域为(1,e)．f(u)与f(x)的定义域一样的，即0u1，所以，补例6.0,1)(CQxQxxD.))((,)21(),57(的性质并讨论求xDDDD设映射与函数38４.函数的运算设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D1,D2,且,21DDD则可定义f(x)和g(x)的下列运算：:()()()(),;:()()()(),():(),\{()0}.()fgfgxfxgxxDfgfgxfxgxxDfffxxxDxgxgggx北=蔽鬃=孜骣÷ç??ç÷ç÷ç桫和积；商例11设函数f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x).映射与函数39５.初等函数(1)基本初等函数①幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.映射与函数40②指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(映射与函数41③对数函数)1