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考点一空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题立体几何例：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_________.(2＋3)πA.πB.3π4C.π2D.π4例：已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()答案B解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝12.∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·322×1＝3π4.解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.练习：直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.考点二三种角的计算问题立体几何A.147B.57C.105D.255跟踪训练在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为√跟踪训练在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为____________考点三八大定理的证明立体几何1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为A.相交B.平行C.垂直相交D.不确定√例.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.(1)求证：PC⊥BC；证明因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥BC.(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.所以AM＝CG＝23，所以AM的长为23.解连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA.因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，所以PA∥平面MEG.因为△OCG≌△OAM，典例如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；师生共研证明在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.证明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.跟踪训练在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝，AB＝2CD＝4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；23证明在△ABD中，由勾股定理知AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P—ABCD的体积.解如图，取AD的中点O，则PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO是四棱锥P—ABCD的高，且PO＝2×32＝3，底面ABCD的面积是△ABD面积的32，即33，所以四棱锥P—ABCD的体积为13×33×3＝3.