二次函数与几何综合类存在性问题--

二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与三角形、四边形和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．考向互动探究探究一二次函数与三角形的结合例1[2013·重庆]如图1，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．图1例题分层分析(1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试；(3)根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值；(4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？(5)D点的坐标怎么用x来表示？(6)QD怎样用含x的代数式来表示？(7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？解：(1)由题意知：点A与点B关于直线x＝－1对称，A(－3，0)，∴B(1，0)．(2)①当a＝1时，则b＝2，把A(－3，0)(3)代入y＝x2＋2x＋c中得c＝－3，∴该抛物线解析式为y＝x2＋2x－3.∵S△BOC＝12·OB·OC＝12×1×3＝32，∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.又S△POC＝12·OC·|xp|＝6，∴|xp|＝4，∴xp＝±4.当xp＝4时，yp＝42＋2×4－3＝21；当xp＝－4时，yp＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5.∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)．②∵A(－3，0)，C(0，－3)，则直线AC的解析式为y＝－x－3.设点Q为(a，－a－3)，点D为(a，a2＋2a－3)，∴QD＝yQ－yD＝－a－3－(a2＋2a－3)＝－a2－3a.当a＝－－32×（－1）＝－32时，QD有最大值，其最大值为：－－322－3×－32＝94.解题方法点析以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些的条件时，点是否存在的问题，这类问题有点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．(中考.广安)如图，已知抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A、B、C的坐标。（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。探究二二次函数与四边形的结合例2[2013·枣庄]如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．例题分层分析(1)图中已知抛物线上几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积．解：(1)将B、C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3.∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形POP′C为菱形．连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝32，∴P点的纵坐标为－32，即x2－2x－3＝－32，解得x1＝2＋102，x2＝2－102(不合题意，舍去)．∴存在点P(2＋102，－32)，使得四边形POP′C为菱形．(3)过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0得点A的坐标为(－1，0)．∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为：y＝x－3，∴Q点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2+3x.∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝12AB·CO＋12PQ·BF＋12PQ·FO＝12AB·CO＋12PQ·(BF＋FO)＝12AB·CO＋12PQ·BO＝12×4×3＋12(－x2＋3x)×3＝－32x2＋92x＋6＝－32x－322＋758.∴当x＝32时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为32，－154，四边形ABPC的最大面积为758.解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差．（2010•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2）抛物线y=ax2+ax-2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．探究三二次函数与相似三角形的结合例3[2013·凉山]如图3，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．图3例题分层分析(1)将____________代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的解析式；(2)根据________的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；(3)根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的坐标和PM的长？(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽________，②△PFC∽________．解：(1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)上，∴c＝4，9a－6a＋c＝0，解得a＝－43，c＝4.∴所求抛物线的解析式为y＝－43x2＋83x＋4.(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵A(3，0)，C(0，4)在直线AC上，∴3k＋b＝0，b＝4，解得k＝－43，b＝4.∴直线AC的解析式为y＝－43x＋4，∴Mm，－43m＋4，Pm，－43m2＋83m＋4.∵点P在M的上方，∴PM＝－43m2＋83m＋4－－43m＋4＝－43m2＋83m＋4＋43m－4＝－43m2＋4m.(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形且∠PCM＝90°.则PFAE＝CFME，即PFCF＝AEME.又∵△AEM∽△AOC，∴AEAO＝MECO，即AEME＝AOCO，∴PFCF＝AOCO＝34.∵PF＝PE－EF＝－43m2＋83m＋4－4＝－43m2＋83m，CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝34.∵m≠0，∴m＝2316.②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形且PC＝CM.则PFME＝FCEA，即PFFC＝MEEA.由①得AOCO＝AEME＝34，∴OCOA＝43，∴PFFC＝OCOA＝43.同理，PF＝－43m2＋83m，CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝43.∵m≠0，∴m＝1.综上可得，存在这样的点P使以P、C、F为顶点的三角形与△AEM相似，此时m的值为2316或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．（2011•枣庄）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．总结•解析式的求法、对称性、最值、线段长度的计算、相似的判定…•三角形及四边形面积问题•分类讨论、数形结合作业