椭圆双曲线的离心率专题

高三数学组苏焕贵2019.4.15在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起,有很强的可考性。其中求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个热点，也是难点。下面我总结了几种求解这类问题的方法.1、根据条件先求出a，c，利用e=ca求解题型一:求离心率的值：1.【2017浙江，2】椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B题型一:求离心率的值：【2017课标3，文11】已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）【答案】A【解析】以线段12AA为直径的圆是222xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离222abdaab，整理为223ab，即22222323aacac，即2223ca，63cea，故选A.【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.)0,0(12222babyax例3、已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是直角三角形，求该双曲线离心率的值。2.利用已知条件建立a,c的等量关系：211222222221212bAFFFcabaccaaceee解：由有即：1．【2018年全国卷II文】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.【训练3】(2013·杭州质检)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()．A.5B．2C.3D.22.利用已知条件建立a,c的等量关系答案B解析如图，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，则|OP|＝12|F1F2|＝c，设点P的坐标为m，bam，则m2＋bam2＝cam＝c，解得m＝a，即得点P的坐标为(a，b)，则由kPF2＝ba－c＝－ba，可得2a＝c，即e＝ca＝2．2.利用已知条件建立a,c的等量关系例4.设P点是椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果∠F1PF2=900，求此椭圆的离心率的取值范围。XYOPF1F2问题的关键是寻找a、c的不等关系22221(0)xyabab题型二:求离心率的取值范围：思路1：巧用图形的几何特性1290FPF12||2FFc2222cbcbac由此可得，）e[221由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有XYOPF1F2212aPFPF||||2221212222212124||||2||||2(||||)2||8aPFPFPFPFPFPFFFc得ca2212所以有，）e[221思路2：利用基本不等式两边平方后得：由椭圆的定义有：B2B1F1yxOF2PPFFPFF1221，，由正弦定理有1212121212||||||||sinsinsin90||||2||2112sincos22sin()4PFPFFFFFPFPFaFFccea又，，则有212e从而可得思路3：利用三角函数有界性设B2B1F1yxOF2P||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224222212121222121222290||||||4||||2()||||22()0FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此2222221248()022caaceea因此，e[)221思路4：利用二次方程有实根由椭圆定义知2.【2017课标II，文5】若1a，则双曲线2221xya的离心率的取值范围是A.(2,)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)题型二:求离心率的取值范围：【答案】C【解析】由题意222222111caeaaa，因为1a，所以21112a，则12e，故选C.练习、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．B2B1F1yxOF2P题型二:求离心率的取值范围：分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当P为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1B1F2．根据条件可得∠F1B1F2≥60°，易得ca≥12．故12≤e＜1．B2B1F1yxOF2P总结：1．圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。2．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．3．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．谢谢!