第14讲--指数函数的图像及性质

第10讲指数函数的图像及性质一、学习目标1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.3.逐步渗透数形结合的数学思想方法二、重点难点1.教学重点：利用函数的单调性求最值2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值第一部分知识梳理讨论：12()2xxyy与的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35xxxxyyyy的函数图象.8642-2-4-6-8-10-5510问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.8642-2-4-6-8-10-5510从图上看xya（a＞1）与xya（0＜a＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.3xy5xy13xy15xy0问题3：指数函数xya（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）0a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，xa＞1x＞0，xa＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，xa＜1x＜0，xa＞15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xabfxa上,()=（a＞0且a≠1）值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或（2）若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（3）对于指数函数()xfxa（a＞0且a≠1），总有(1);fa（4）当a＞1时，若1x＜2x，则1()fx＜2()fx；例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.11、已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,,abc.2.比较1132aa与的大小（a＞0且a≠0）.xyd的图象，判断,,,abcd与1的大小关系；8642-2-4-6-10-5510（2）设31212,,xxyaya其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：①12yy②1y＞2y（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时xya的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xyka（a＞0且a≠1）.第二部分例题讲解【例1】求下列函数的定义域：（1）132xy；（2）51()3xy；（3）1010010100xxy.解：（1）要使132xy有意义，其中自变量x需满足30x，即3x.∴其定义域为{|3}xx.（2）要使51()3xy有意义，其中自变量x需满足50x，即5x.∴其定义域为{|5}xx.（3）要使1010010100xxy有意义，其中自变量x需满足101000x，即2x.∴其定义域为{|2}xx.【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3xy；（2）421xxy解：（1）观察易知2031x，则有203111()()133xy.∴原函数的值域为{|0,1}yyy且.（2）2421(2)21xxxxy.令2xt，易知0t.则22131()24yttt.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24yt在0t上为增函数，所以221313()(0)12424yt.∴原函数的值域为{|1}yy.b为常【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()xbfxa的图象如图，其中a、数，则下列结论正确的是（）.A．1,0abB．1,0abC．01,0abD．01,0ab解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()fx为减函数，从而0a1；从曲线位置看，是由函数(01)xyaa的图象向左平移|-b|个单位而得，所以-b0，即b0.所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点，得到01baa，从而b0.【例4】已知函数23()(0,1)xfxaaa且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x，即23x时，2301xaa.所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵23ux是减函数，∴当01a时，()fx在R上是增函数；当1a时，()fx在R上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.【例5】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3xy，0.3xy，2xy，0.2xy，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2xy，0.3xy，2xy，3xy.如右图所示.由于20x，所以从小到大依次排列是：20.2，20.3，22，23.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题.当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例6】已知21()21xxfx.（1）讨论()fx的奇偶性；（2）讨论()fx的单调性.解：（1）()fx的定义域为R.∵21(21)21221()()21(21)21221xxxxxxxxxxfxfx.∴()fx为奇函数.（2）设任意12,xxR，且12xx，则121212121221212(22)()()2121(21)(21)xxxxxxxxfxfx.由于12xx，从而1222xx，即12220xx.∴12()()0fxfx，即12()()fxfx.∴()fx为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决.需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例7】求下列函数的单调区间：（1）223xxya；（2）10.21xy.解：（1）设2,23uyauxx.由2223(1)4uxxx知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.根据uya的单调性，当1a时，y关于u为增函数；当01a时，y关于u为减函数.∴当1a时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；当01a时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).（2）函数的定义域为{|0}xx.设1,0.21xyuu.易知0.2xu为减函数.而根据11yu的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数.∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)fxyaaa，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a时，函数()fxya的单调性与()fx的单调性相同；当01a时，函数()fxya的单调性与()fx的单调性相反.而对于形如()(01)xyaaa，且的函数单调性的研究，也需结合xa的单调性及()t的单调性进行研究.复合函数(())yfx的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()yfu与()ux两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化→()ux的变化→()yfu的变化”这样一条思路进行分析.第三部分基础过关1.已知指数函数)10()(aaaxfx且的图像经过点（,3），求f(0);f(1);f(-3)的值2.比较下列各题中两个值得大小（1）5.27.1___________37.1;（2）1.08.0___________2.08.0；（3）3.07.1____________1.39.0（4）8.03____________7.03;（5）1.075.0___________1.075.0;（6）3.399.0___________5.499.03.在同一平面坐标系中画出下列函数的图像（1）xy3；（2）xy)31(4.求下列函数的定义域（1）23xy；（2）xy1)21(;(3)123xy5.已知下列不等式，比较m,n的大小（1）nm22；m_______n;(2)nm2.02.0,m__________n;（3）)10(aaanm；m_______n;（4）)1(aaanm；m_______n;6.求不等式)1,0(1472aaaaxx中x的取值范围；7.设131xay，xay22其中10aa且，确定x为何值时，有：（1）21yy；（2）21yy8．设2)(xxeexf；2)(xxeexg，求证：（1）1)()(22xfxg；（2）)().(2)2(xgxfxf；（3）22)()()2(xfxgxg第四部分过关检测【过关检测A】1．下列各式错误的是（）.A.0.80.733B.0.40.60.50.5C.0.10.10.750.75D.1.61.4(3)(3)2．已知0c，在下列不等式中成立的是（）.A.21cB.1()2ccC.12()2ccD.12()2cc3．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）.A.（0，1）B.（1，0）C.（2，1）D.（0，2）4．设,ab满足01ab，下列不等式中正确的是（）.A.abaaB.abbbC.aaabD.bbba5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（）.A.新加坡(270万)B.香港(560万)C.瑞士(700万)D.上海(1200万)6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.7．函数21232xxy的定义域为；函数2231()2xxy的值域为.8．已知,ab为不相等的正数，试比较abab与baab的大小.9．若已知函数23()(0,1)xfxaaa且，()xgxa.（1）求函数()fx的图象恒过的定点坐标；（2）求证：1212()()()22xxgxgxg.10．讨论函数21(01)xyaaa，且的值域.【过关检测B】1．如果指数函数y=(2)xa在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（）.A．a＞2B．a＜3C．2＜a＜3D．a＞32．使不等式31220x成立的x的取值范围是（）.A.3(,)2B.2(,)3C.1(,)3D.1(,)33．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）.A.mB.12mC.121mD.111m4．函数2651()()3xxfx的单调递减区间为（）.A.(,)