谢传峰《理论力学》课后习题及详解

1－3解：运动方程：tanly，其中kt。将运动方程对时间求导并将030代入得34coscos22lklklyv938cossin2232lklkya1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：ntaaa,设质点的速度为v，由图可知:aavvyncos，所以:yvvaan将cvy，2nva代入上式可得cva3证毕1－7证明：因为n2av，vaavasinn所以：va3v证毕1－10解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度为s,则有关系式：tvLs0，并且222xls将上面两式对时间求导得：0vs，xxss22xyoanavyvtayzoanaxovovFNFgmy由此解得：xsvx0（a）(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：2002vvsxxx(b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlvxxvxax（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：NFFymFmgxmsincos其中：2222sin,coslxllxx0,3220yxlvx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(xlxlvgmF1－11解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：cosABvv（a）因为xRx22cos（b）AxOAvAxOBvBR将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：22RxxRvA（c）由于xvA，（c）式可写成：RxRxx22，将该式两边平方可得：222222)(xRRxx将上式两边对时间求导可得：xxRxxRxxx2232222)(2将上式消去x2后，可求得：22242)(RxxRx(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为22242)(RxxRaA取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mgFFymFxmNsincos其中：xRxxR22cos,sin,0,)(22242yRxxRx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242RxxRmmgFRxxRmFN1－13解：动点：套筒A；动系：OC杆；定系：机座；xAvAONFBRgmFyavevrv运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv有：eacosvv，因为AB杆平动，所以vva，由此可得：ecosvv，OC杆的角速度为OAve，coslOA，所以lv2cos当045时，OC杆上C点速度的大小为：lavlavavC245cos021－15解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有r1e1a1vvv，r2e2a2vvv由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2vv，由上两式可得：r1e1vvr2e2vv(a)将（a）式在向在x轴投影,可得：e1ve2vr2vr1vx0r20e20e130cos30sin30sinvvv由此解得：smbOMvvv/4.0)93(30cos30sin)(30tan)(30tan020120e1e20r232.02e2OMvsmvvvvM/529.022r2e2a21－17解：动点：圆盘上的C点；动系：O1A杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有reavvv（a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：0e0a30cos30cosvv，0r0a30sin30sinvvRvvae，Rvvra，5.02O1e1RRCv根据加速度合成定理有Caaaaarnetea（b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得Caaaa0ne0te0a30sin30cos30sin其中：2aRa，21ne2Ra，r12vaC由上式解得：2te11232RaavevrvaateanearaCa1－19解：由于ABM弯杆平移，所以有MAMA,aavv取：动点：滑块M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv可求得：m/s2222eabvvvvAM，m/s2erbvv，rad/s3245.12211AOvA根据加速度合成定理Caaaaaarnetenata将上式沿Ca方向投影可得：Caaaate0na0ta45sin45cos由于221nam/s316la，2tem/s1ba，2rm/s82vaC，根据上式可得：2ta231527316s/m.a，2ta1rad/s1610.la1-20解：取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；avevrvnaarataaCaneateaavMOABrvev牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：rrOMv260cos0e根据速度合成定理：reavvv可以得到：rrvv3260tan2tan0ea，rvv460cos0er加速度如图所示，其中：2022e260cosrrOMa，2r82rvaC根据加速度合成定理：Caaaarea将上式在'x轴上投影，可得：Caaacoscosea,由此求得：2a14ra1－21解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Ox’y’）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理reavvv将上式沿绝对速度方向投影可得：'xCaaaMOABraeaOx’y’evavrvreavvv因此aervvv其中：AABBRvRvvv,,ea，由此可得：m/s9380rBAABvvRRv求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：22rnrrm/s78.1BRvaa1-23质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速v向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有reavvv由此可求出：coscoseavvv。再根据加速度合成定理有：reaaaa由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0ea，并且上式可写成：rnataaaa因为222anacosrvrva，所以根据上式可求出:32natacossintanrvaa。y’x’nraOMrOvgmOFMrOvgmFraevavrvMrOnaaMrOtaa根据矢量形式的质点运动微分方程有：gFFaammO)(nata将该式分别在水平轴上投影：cos)cossin(nataOFaam由此求出：42cosrmvFO1-24图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为l，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有erFgFamm将上式在切向量方向投影有cosFsinmgmlmatre因为,eemamaFddddddddtt，所以上式可写成cossinddmamgml整理上式可得dcosdsindagl将上式积分：caglsincos22其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度lvr，上式可写成caglvsincos22raMteagmeFF初始时0，系统静止，0eavv，根据速度合成定理可知0rv，由此确定gc。重物相对速度与摆角的关系式为：]sin)1(cos[22raglv1-26水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为OR，求小球到转轴的距离为ORR时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：CmFFFaer将上式在rv上投影有cosddertrFtvmma因为2emRF，tRRvtvddddddrr，cosddrvtR，所以上式可写成cosddcos2rrmRRvmv整理该式可得：2rrddRRvv将该式积分有：cRv222r2121初始时ORR,0rv,由此确定积分常数2221ORc，因此得到相对速度为22rORRv1-27重为P的小环M套在弯成2cxy形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。RRoOCFeFRRoFrvθOxyMxyMFeFP解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0ra，因为金属丝为曲线，所以0rv，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中PFF,,e分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：0ePFF其中：2eygPF，将上式分别在yx,轴上投影有0cos0sineFFFP（a）以为xyddtan，xcy2,22ddxcxy,因此22tanxc（b）由（a）式可得etanFP（c）将2eygPF和式（b）代入式（c），并利用2cxy，可得：31223124,gcygcx再由方程（a）中的第一式可得3424421111gcPcxPtanPsinPF2-1解：当摩擦系数f足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力NfFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：r2vpm将其在x轴上投影可得：btmvmpx2r2根据动量定理有：vrvNFFg1mg2mxgmmffFFbmtpNx)(dd212即：当摩擦系数gmmbmf)(212时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数gmmbmf)(212时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：vvvp1r2)(mm将上式在x轴投影有：vmmbtmvmvvmpx)()()(2121r2根据动量定理有：gmmff