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1/16第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算.教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定.教学时数：12学时§1含参量正常积分一.含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:Th19.5若函数在矩形域上连续,则函数在上连续.(证)P172Th19.8若函数在矩形域上连续,函数和在上连续,则函数在上连续.(证)P1732.含参积分的可微性及其应用:2/16Th19.10若函数及其偏导数都在矩形域上连续,则函数在上可导,且.(即积分和求导次序可换).(证)P174Th19.11设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在,值域在上,且可微,则含参积分在上可微,且.(证)P174例1计算积分.P176.例2设函数在点的某邻域内连续.验证当充分小时,函数的阶导数存在,且.P177.§2含参反常积分一.含参无穷积分:3/161.含参无穷积分:函数定义在上(可以是无穷区间).以为例介绍含参无穷积分表示的函数.2.含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛(或称点态收敛)的定义:,,使.引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数定义在上.若对,使对成立,则称含参无穷积分在(关于)一致收敛.Th19.5(Cauchy收敛准则)积分在上一致收敛,对成立.例1证明含参量非正常积分在上一致收敛,其中.但在区间内非一致收敛.P1803.含参无穷积分与函数项级数的关系:4/16Th19.6积分在上一致收敛,对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛.(证略)二.含参无穷积分一致收敛判别法:1.WeierstrassM判别法:设有函数,使在上有.若积分,则积分在一致收敛.例2证明含参无穷积分在内一致收敛.P1822.Dirichlet判别法和Abel判别法:P182三.含参无穷积分的解析性质:含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1.连续性:积分号下取极限定理.Th19.7设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上连续.(化为级数进行证明或直接证明)推论在Th.7的条件下,对,有2.可微性:积分号下求导定理.5/16Th19.8设函数和在上连续.若积分在上收敛,积分在一致收敛.则函数在上可微,且.3.可积性:积分换序定理.Th19.9设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上可积,且有.例3计算积分P186四.含参瑕积分简介:§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数——Euler第二型积分：1.Gamma函数:考虑无穷限含参积分,6/16当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为来讨论其敛散性.:时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到时积分收敛.(易见时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,时积分收敛.:对R成立,.因此积分对R收敛.综上,时积分收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为,即=,.函数是一个很有用的特殊函数.2.函数的连续性和可导性:在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散.这里利用了下面的结果:若含参广义积分在内收敛,但在点发散,则积分在内非一致收敛.7/16但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛.因为时,对积分,有,而积分收敛.对积分,,而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分在区间上一致收敛.作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:的连续性:在区间内连续.的可导性:在区间内可导,且.同理可得:在区间内任意阶可导,且.3.凸性与极值:,在区间内严格下凸.(参下段),在区间内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4.的递推公式函数表:8/16的递推公式:.证..于是,利用递推公式得:,,,…………,,一般地有.可见,在上,正是正整数阶乘的表达式.倘定义,易见对,该定义是有意义的.因此,可视为内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是,自然就有,可见在初等数学中规定是很合理的.函数表:很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理.人们仿三角函数表、对数表等函数表,制订了函数表供查.由函数的递推公式可见,有了函数在内的值,即可对,求得的值.通常把内函数的某些近似值制成表,称这样的表为函数表也有在内编制的函数表.)9/165.函数的延拓:时,该式右端在时也有意义.用其作为时的定义,即把延拓到了内.时,依式,利用延拓后的,又可把延拓到内.依此,可把延拓到内除去的所有点.经过如此延拓后的的图象如P192图表19—2.例1求,,.(查表得.)解.),.6.函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数.倘能如此,可查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ令,有=,10/16因此,,.ⅱ令.注意到P7的结果,得的一个特殊值.ⅲ令,得.取,得.例2计算积分,其中.解I.二.Beta函数——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称(含有两个参数的)含参积分为Euler第一型积分.当和中至少有一个小于1时,该积分为瑕积分.下证对,该积分收敛.由于时点和均为瑕点.故把积分分成和考虑.11/16:时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函数非负,和,(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).:时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函数非负,和,(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).综上,时积分收敛.设D,于是,积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为,即=不难验证,函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:.证=12/16.由于函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3.递推公式:.证,而,代入式,有,解得.由对称性,又有.4.函数的其他形式:ⅰ令,有13/16,因此得,.ⅱ令,可得,.特别地,,.ⅲ令,有==,即,ⅳ令,可得.ⅴ,.三.函数和函数的关系:函数和函数之间有关系式,14/16以下只就和取正整数值的情况给予证明.和取正实数值时,证明用到函数的变形和二重无穷积分的换序.证反复应用函数的递推公式,有,而.特别地,且或时,由于,就有.余元公式——函数与三角函数的关系：对，有.该公式的证明可参阅:Фихтенгалъц,微积分学教程Vol2第3分册,利用余元公式,只要编制出时的函数表,再利用三角函数表,即可对,查表求得的近似值.四.利用Euler积分计算积分:例3利用余元公式计算.15/16解,.例4求积分.解令,有I.例5计算积分.解,该积分收敛.(亦可不进行判敛,把该积分化为函数在其定义域内的值,即判得其收敛.)I.例6,求积分,16/16其中V:.解.而.因此,.