高中数学直线与椭圆的位置关系、弦长公式

2.2.2椭圆的简单几何性质(三)1-----直线与椭圆的位置关系2-----弦长公式1回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与圆相离无公共点．通法2点与椭圆的位置关系点00(,)Pxy与椭圆22221(0)xyabab的位置关系点P在椭圆上22221xyab；点P在椭圆内部22221xyab点P在椭圆外部22221xyab3直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)4直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数方法=n2-4mp12222byax5例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点22194xyD1直线与椭圆的位置关系6k366kk-3366-k33当=时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点72214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？oxy450mllxyk解：设直线平行于，则可写成：224501259xykxy由方程组2222258-2250064-425-2250yxkxkkk消去，得由，得（）1直线与椭圆的位置关系lm8oxy12k25k25解得=，=-2225402515414145kmld由图可知，直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且思考：最大的距离是多少？1直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？ml9练习：已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxxx1直线与椭圆的位置关系10设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．2、弦长公式11弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（弦长公式：12例4：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．2、弦长公式13解：3.若P(x,y)满足,求的最大值、最小值.221(0)4xyy34yx14例：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造3、弦中点问题15例：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差3、弦中点问题16例：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，3、弦中点问题17练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）A、（0，1）B、（0，5）C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）3、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,DC193622yx1522myx165181、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结19作业P48练习6、7题P49A组8题21