高考数学 利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

1利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题近几年，随着新课标在全国的范围内的实施，高考命题也在悄悄发生变化，在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件，洛必达法则……特别是解答题中的函数与导数题，高等数学的观点尤其突出。虽然高考考试没有要求学生掌握，但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。例如2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，用初等方法处理，分析难度大，变化技巧高。但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。一．洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0xafx及lim0xagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0xfx及lim0xgx；(2)0A，f(x)和g(x)在,A与,A上可导，且g'(x)≠0；(3)limxfxlgx，那么limxfxgx=limxfxlgx。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxafx及limxagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa，xa洛必达法则也成立。○2洛必达法则可处理00，，0，1，0，00，型。○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，，0，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围原解：（1）0a时，()1xfxex，'()1xfxe.当(,0)x时，'()0fx；当(0,)x时，'()0fx.故()fx在(,0)单调减少，在(0,)单调增加（II）'()12xfxeax由（I）知1xex，当且仅当0x时等号成立.故'()2(12)fxxaxax，从而当120a，即12a时，'()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0x时，()0fx.由1(0)xexx可得1(0)xexx.从而当12a时，'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx.综合得a的取值范围为1,22原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当0x时，()0fx，对任意实数a,均在()0fx；当0x时，()0fx等价于21xxaex令21xxgxex(x0),则322()xxxxgxeex，令220xxhxxxxee，则1xxhxxee，0xhxxe，知hx在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数，00hxh；0gx，g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知，2000111222limlimlimxxxxxxxxeeex，故12a综上，知a的取值范围为1,2。2．（2011年全国新课标理）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。原解：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。（i）设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx，h（x）递减。而(1)0h故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即f（x）1lnxx+xk.（ii）设0k1.由于2(1)(1)2kxx=2(1)21kxxk的图像开口向下，且244(1)0k，对称轴x=111k.当x（1，k11）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故'h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时212xx，2(1)(1)20kxx'h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当0,1xx时，k22ln11xxx恒成立。令g(x)=22ln11xxx(0,1xx),则22221ln121xxxgxx，3再令221ln1hxxxx(0,1xx)，则12lnhxxxxx，212ln1hxxx，易知212ln1hxxx在0,上为增函数，且10h；故当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx；hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx1h=0hx在0,上为增函数1h=0当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx当(0,1)x时，0gx，当x（1，+）时，0gxgx在0,1上为减函数，在1,上为增函数由洛必达法则知2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx0k，即k的取值范围为（-，0]规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。练习：1．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－ax（a0）若不等式f（x）0对一切x∈（0，＋∞）恒成立，求a的取值范围；答案：，12．已知函数)1(ln)(xaxxf，a∈R．当1x时，)(xf≤1lnxx恒成立，求a的取值范围．答案：a的取值范围是,21