普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 81届

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B,2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ奎屯王新敞新疆二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果奎屯王新敞新疆解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC奎屯王新敞新疆2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD奎屯王新敞新疆三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是奎屯王新敞新疆ABA是B的什么条件1四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD为矩形必要条件2a=3|a|=3充分条件3θ=1500sinθ=21充分条件4点（a,b)在圆x2+y2=R2上a2+b2=R2充要条件解：见上表奎屯王新敞新疆四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明奎屯王新敞新疆证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点距离公式得：a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五．（本题满分10分）解不等式（x为未知数）：.0cxbacbxacbax解：右式=x2(x-a-b-c)0原不等式解是x≠0,xa+b+c奎屯王新敞新疆六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式YCbaAOcBXnnnxxxxxx2sin2sin2cos2cos2cos2cos32对一切自然数n都成立奎屯王新敞新疆证：略奎屯王新敞新疆七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算奎屯王新敞新疆（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答：略奎屯王新敞新疆八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B奎屯王新敞新疆已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，1．求直线AB和棱a所成的角;2．求直线AB和平面Q所成的角奎屯王新敞新疆解：1.在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C奎屯王新敞新疆∴∠ABC等于AB和a所成的角奎屯王新敞新疆∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，∴∠ADC=1200奎屯王新敞新疆又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4奎屯王新敞新疆连接AC，由余弦定理得.72AC又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面奎屯王新敞新疆再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥AC奎屯王新敞新疆在直角△ABC中，,57sinABACABCP1200QEBAFDC57arcsinABC2．在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F奎屯王新敞新疆因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面Q奎屯王新敞新疆在△ADF中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin2连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以.103arcsin.103sinABFABAFABF九．（本题满分17分）给定双曲线.1222yx1．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程奎屯王新敞新疆2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由奎屯王新敞新疆解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：(2)0344)24()2(2222kkxkkxk又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),),,(yxP则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有).02(22422221kkkkxx按题意，.22),(212221kkkxxxx因为),(yx在直线（1）上，所以.2)12(21)222(1)2(222kkkkkkxky再由yx,的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为,17)21(47)1(822yx这就是所求的轨迹方程奎屯王新敞新疆2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(3)032)22()2(2222kkxkkxk设21222111,),,(),,(xxyxQyxQ则必须是（3）的两个实根，即.2222221kkkxx如果B是Q1Q2的中点，就有121xx，即221xx，所以有.222222kkk综合起来，k应满足.2222,0)32)(2(4)22()(222222kkkkkkkkI由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解奎屯王新敞新疆故满足题设中条件的直线不存在奎屯王新敞新疆十．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a-b，u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,…………，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证：un=un-1+un-2(n≥3)证：通项公式可写成uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk=babakkk111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1奎屯王新敞新疆1112111n11n111112(1)(1)aba(1),(1)(1)()a(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabuabababbababababuabababababbabauu故得于是有11.nnbuabEDABFOC