普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 81届

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B,2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ奎屯王新敞新疆二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[abababababa解：原式=2)(38bab奎屯王新敞新疆三．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果奎屯王新敞新疆解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC奎屯王新敞新疆2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD奎屯王新敞新疆四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值奎屯王新敞新疆解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以xfxfxfxxf五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明奎屯王新敞新疆答：.sinsinsincCbBaA证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E奎屯王新敞新疆设△ABC的面积为S，则;sin21)180sin(2121AbcAbcBEACSBacADBCSsin2121又CabADBCSsin2121CabBacAbcSsin21sin21sin21将上式除以,21abc得：.sinsinsincCbBaA六．（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标奎屯王新敞新疆解：设AC中点为M（x,y）,则有)2,1(),(.2251,1220MyxMyx又设AC斜率为k，则k=3奎屯王新敞新疆因此得BD的斜率为311k奎屯王新敞新疆故有直线BD的方程：(1))1(312xy又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2)10)2()1(22yxBaDcEACb解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）奎屯王新敞新疆（注：用复数法解亦可奎屯王新敞新疆）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算奎屯王新敞新疆（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答：略奎屯王新敞新疆八．（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1奎屯王新敞新疆证：设AC、BD交于O点奎屯王新敞新疆作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形奎屯王新敞新疆由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC奎屯王新敞新疆∴AC⊥对角面BB1D1D奎屯王新敞新疆已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D奎屯王新敞新疆九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为53，求k的值奎屯王新敞新疆2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形奎屯王新敞新疆当这三角形的面积为9时，求P的坐标奎屯王新敞新疆解：设直线与抛物线的交点为P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组：xkxkxyxy4)2(2422得D1C1A1B1DCOABYy=2x+kP2y2=4xOXP1222121222121212221222121222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).()()35,(12)4(12)45,:4.xkxkkxxkxxxxxxxxkkkPPyxkyyxxkxxyykkk即故有又因在直线上故根据题设条件即解得2．设x轴上一点P的坐标为（a,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有5|42|ah奎屯王新敞新疆依题意得△PP1P2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219aaaa即