普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 54年

1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223babba解：原式=.)()(32310231272321223ababbaba乙、解cbaxlglg2lg31lg61解略：x=a2b12c6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一奎屯王新敞新疆.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解.182.830216.016.281)02.3(4丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和奎屯王新敞新疆证：由c2=a2+b2奎屯王新敞新疆∴弦上半圆的面积=22222221221421221babac=勾上半圆的面积+股上半圆的面积奎屯王新敞新疆戊、已知球的半径等于r，试求内接正方形的体积奎屯王新敞新疆解：内接正方体的中心即该球的球心奎屯王新敞新疆正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r奎屯王新敞新疆若设内接正方体的边长为a，则有3a2=4r2，.398332.332333rrara内接正方体的体积己、已知a是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b的计算公式奎屯王新敞新疆解：由正弦定理可知.)sin(sin)](180sin[sin,sin)](180sin[aabba2.描绘y=3x2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x的值所在的范围：1）y＞0，2）y＜0奎屯王新敞新疆).1261(31)67(:2yx将原方程变形可得解).1261,67(,抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:NMx轴的交点为与).,6617(),6617,(,0的值所在范围为时当xy).6617,6617(,0的值所在范围为时当xy3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切奎屯王新敞新疆证：设⊙O1及⊙O2为互相外切之二圆，其一外公切线为A1A2，切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点，过O作OA⊥A1A2奎屯王新敞新疆∵OA=21（O1A1+O2A2）=21O1O2，∴以O1O2为直径，即以O为圆心，OA为半径的圆必与直线A1A2相切奎屯王新敞新疆同理可证，此圆必切于⊙O1及⊙O2的另一条外公切线奎屯王新敞新疆YMONX)1261,67(4．试由.,2sin111通值求的xxtgxtgx)(0sin4,1,0sincos,0sin)sin(cos20)sincos1)(sin(cos)sin(cossincossincos:22222为整数或者即或者所以解kkxxkxtgxxxxxxxxxxxxxxxx由检验可知，均为其通解奎屯王新敞新疆5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值奎屯王新敞新疆解：设直圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，则,)(2)(2)(hRLRhRRLRRaa.2)2(),()(2,).()(222222222ahLahLaaLhLahhLahLRLRahRa代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以LhaaLhaaLA2AA1O1OO2.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaLhaaaaaaaaaaaaLhaaaLhaaLhaaaaLhaLhaaaLhaaaa母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于