普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 55年

1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程奎屯王新敞新疆解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α2+β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β2=1，故所求的二次方程为x2-11x+1=0奎屯王新敞新疆乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦奎屯王新敞新疆解：设AB=AC=4BC，而AD为底边上的高，于是ACBCBCBCBCACABBCACABA4216162cos222222.81cos,81421cos,3231323122CACBCABBDBBCBC同理ABDC丙、已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高奎屯王新敞新疆解：设S-ABCD为正四棱锥，SO为它的高，底边长为a，∠SAO=450奎屯王新敞新疆∵AO=a22∴由△SOA为等腰直角三角形，故棱锥S-ABCD的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义奎屯王新敞新疆略奎屯王新敞新疆2．求b，c，d的值，使多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2，（3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等奎屯王新敞新疆解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d=0…………………………………①f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………②-8+4b-2c+d=8+4b+2c+d…………………………③化简③式可得c=-4奎屯王新敞新疆将其分别代入①②可得b+d=39b+d=-13解得b=-2,d=5.综上，b=-2,c=-4,d=5奎屯王新敞新疆SDCOAB3．由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G奎屯王新敞新疆求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项奎屯王新敞新疆证：连接GA、GB，则△AGB也是一个直角三角形奎屯王新敞新疆因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，所以，EG为EA和EB的比例中项，即EG2=EA·EB奎屯王新敞新疆∵∠AFE=∠ABC，∴直角△AEF∽直角△DEB，.EFEDEBEAEBEDEFEA即但是∵EG2=EA·EB，∴EG2=ED·EF（等量代换）.故EG也是ED和EF的比例中项奎屯王新敞新疆4．解方程xxxsincos2cos,求x的通值奎屯王新敞新疆解：xxxxsincossincos22，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin22cos22,1sincos01sincos)(.4,1,010sincos.0)1sin)(cossin(cos,0)sin(cos)sin)(cossin(cos为整数则得如果为整数则得如果kkkxkxxxxxxxxkkxtgxtgxxxxxxxxxxxxx5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形奎屯王新敞新疆证：可设其长分别为x-d,x,x+d.FCGDAEB因为三角形的周长为12尺，∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺）于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662dddddd由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形奎屯王新敞新疆