普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 56年

1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算lg25+lg2·lg50.解：原式=lg25+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1.乙、设m是实数，求证方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的两根必定都是实数奎屯王新敞新疆证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数奎屯王新敞新疆由.124)(24)]14([222mmmm.0,02m故原方程的两根均为实数奎屯王新敞新疆丙、设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线交AB于E，过B作直线平行于ME交AC于F奎屯王新敞新疆求证△AEF的面积等于△ABC的面积的一半奎屯王新敞新疆证：连MB，则△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积=△AEM的面积+△MEB的面积=△ABM的面积=21·△ABC的面积（三角形的中线BM二等分△ABC的面积）丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数奎屯王新敞新疆解：该三角形的最大边长为37，所以它所对的角最大，设此角为，由余弦定理可得.1206018021432)37(43cos222ABCFEM⌒戊、设0762xxtgtg是方程和的两根奎屯王新敞新疆求证：)cos()sin(证：由根与系数关系可知：)cos()sin(11)(.7,6tgtgtgtgtgtgtgtgtg因2．解方程组.0)4)(3(,0127)()1(:)2(136)1(12722yxyxyxyxyxyxyx式可得由解.6,10;10,6;21919,21919;21919,21919,.6,10,10,6,0120322,136)16()2()4(.21919,21919055182,136)9()2()3()4(16,16,04)3(9,9,0344332211222222yxyxyxyxyxxxxxyxxxxxxyyxyxxyyxyx其解为综上即得代入将即得代入将由此可得经检验，这四组解均为原方程组的解奎屯王新敞新疆3．设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA2=AB2+PB·PC证：在△ABP和△ADB中，∠BAP=∠DAB为公用角，又∠APB=∠ACB=∠ABD=600△ABP∽△ADB，ABPCAB2=PA·AD…………（1）同理可证△BPD∽△APC，,PCPAPDPB∴PB·PC=PA·PD…………（2）（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得AB2+PB·PC=PA（AD+PD）=PA2，∴PA2=AB2+PB·PC奎屯王新敞新疆4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A＇AB=∠A＇AD（如图）奎屯王新敞新疆求证：平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD奎屯王新敞新疆证：设底面是菱形ABCD的对角线相交于O，联结A＇D，A＇O，A＇B奎屯王新敞新疆在△A＇AB与△A＇AD中，∵A＇A=A＇A，∠A＇AB=∠A＇AD，AB=AD，△A＇AB≌△A＇AD，∴A＇B=A＇D，△A＇BD为等腰三角形又∵O为DB的中点，∴A＇O⊥DB奎屯王新敞新疆由菱形性质，DB⊥AC，∴DB垂直于底面A＇ACC＇但底面ABCD是经过DB的故平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD奎屯王新敞新疆5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之奎屯王新敞新疆证（1，）设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得B-A=C-B，∴2B=A+C但∵A+B+C=1800，即3B=1800，B=600.ABCDA'B'C'D'O证（2），由（1）已知△ABC必有一个角为600，今设∠B=600.∵△ABC的三边cba,,成等比级数，∴.2acb又由余弦定理可得,2,cos2222222accabBaccab60,,60.0)(,02222CABCBABcacaacca故△ABC为等边三角形，即其三个内角均为600.