普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 57版

1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221乙、求适合不等式22xx的实数x的范围奎屯王新敞新疆解：原式为022xx解为：-2x1.故x的范围为-2x1.丙、求证.210322ctg证：.2145sin45cos12450322ctgctg丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形奎屯王新敞新疆证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BDSPRQACRSPQ而由题设，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS为一个菱形ASPDRCBQ戊、设ba,为异面直线，EF为ba,的公垂线，为过EF的中点且与ba,平行的平面，M为a上任一点，N为b上任一点奎屯王新敞新疆求证线段MN被平面二等分奎屯王新敞新疆证：过直线b作平面//（如图）奎屯王新敞新疆过直线a及公垂线EF作一平面，在此平面内作MC∥EF，且与平面，分别交于B、C两点奎屯王新敞新疆设EF、MN分别与平面交于点A、D奎屯王新敞新疆∵点A是EF的中点，又ME∥BA∥CF，∴点B是MC的中点奎屯王新敞新疆又∵DB∥NC，∴D是MN的中点奎屯王新敞新疆另法：如图，连接EN，AB,BD由ABbBDaba//,////,//由A是EF的中点得,D为MN的中点奎屯王新敞新疆此即线段MN被平面二等分2．解方程组)2(101010)1(1)2lg()12lg(yxxyyx解：由（1）可得,10)2)(12(yxMEaBADCbNFabEFAMNBD)3(01242yxxy由（2）可得)4(yxxy将（4）代入（3）可得,012422yxyx,01232yx)5(3212xy再将（5）代入（4）可得,32123212xxxx化简，得,012722xx.41457x将x值代入（5）.6145173212xy此即.614517,41457;614517,414572211yxyx因为,0122x所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为.614517,41457yx3．设△ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高.2sin2cos2cos2ACBrAD证：在直角△ABC中，2cos2sin2sinBBcBcADAEcrbOBCaD另外，EBAEc)22(BctgActgr2sin2sin)22sin()2sin2cos2sin2cos(BABArBBAAr.2sin2cos2cos22cos2sin2sin2sin2cos22sin2sin2cosACBrBBBACrADBACr4．设△ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面积=△AEF的面积.证（1）：设AB与⊙O相交于点G，联结EC，CG，BF.∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切线，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，AGEDBGOF∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则EC∥BF，△EBC的面积=△EFC的面积∴△ABC的面积=△AEC的面积+△EBC的面积=△AEC的面积+△EFC的面积=△AEF的面积5．求证方程0)2()12(23QxQxx的一个根是1奎屯王新敞新疆设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦,sin,sin,sinCBA求A、B、C的度数以及Q的值奎屯王新敞新疆解：将x=1代入这个方程式，则01)2(1)12(123QQ，故知1是原方程的一个根奎屯王新敞新疆由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除奎屯王新敞新疆用x-1除方程左边后得商式.022Qxx根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sinC）及根与系数的关系可得)3(sinsin)2(2sinsin)1(1sinQBABAC由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得.212222sinsin)3(45459045,045,1)45cos(,1cos45cossin45sin,1cos22sin22,2cossin,2)90sin(sinBAQBAAAAAAAAAAA式可得从即