普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 58版

⌒⌒⌒⌒⌒⌒1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x展开式中3x的系数奎屯王新敞新疆解：设求的项为.802,32)2(333354551xxCTrxCxCTrrrrrr今乙、求证.sin88sin4cos2coscosxxxxx证：xxx4cos4sin28sinxxxxxxx4cos2coscossin84cos2cos2sin4.sin88sin4cos2coscosxxxxx丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D为AB的中点，E为AC的中点，作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN奎屯王新敞新疆证：联结AD与AE（如图）∵∠AMN=∠DAM+∠MDA，∠ANM=∠EAN+∠NEA，又∵AD=DB，∠DAB=∠AED，AE=EC，∠ADE=∠EAC，∴∠AMN=∠ANM，AM=AN.丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直奎屯王新敞新疆ADEMNBC证：因ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，过A作AE⊥BC，联结DE，则DE⊥BC，∴BC垂直平面AED，而AD在此平面内，∴BC⊥AD同理可证AB⊥DC，AC⊥DB奎屯王新敞新疆戊、求解.cos3sinxx解：,cos3sinxx).(3,3为整数kkxtgx2．解方程组)2(9122)1(4121yyxyxyxvyxuyxyxyx12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为)4(8)3(422vuvu解方程组，可得.2,2vuDCAEB将vu,的值代回所设，可得.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212yxyxxxyyyyyyyxyxyxyx由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解奎屯王新敞新疆3．设有二同心圆，半径为R，r(Rr），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A＇，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D;由A＇作直线A＇E垂直AD，并交AD于E，已知∠OAD=α，求OE的长奎屯王新敞新疆解：在直角△OAD中，OD=Rsinα，AD=Rcosα在直角△A＇AE中，AE=（R-r）cosα∴DE=AD-AE=Rcosα-（R-r）cosα=rcosα.OE=.cossin222222rRDEODAA＇EBODC4．已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切奎屯王新敞新疆已知：M为△ABC的AB的中点.求作：一个经过A、M两点且与BC直线相切的圆.分析：设⊙O即为合于要求的圆（如图）因⊙O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为⊙O的切线，BA为⊙O的割线，所以，应有BP2=BM·BA而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆奎屯王新敞新疆作法：1）作线段A＇B＇M＇，使A＇B＇=AB，B＇M＇=BM2）以A＇M＇为直径作半圆3）过B＇作A＇M＇的垂线B＇P＇交半圆于点P＇4）在△ABC的边BC上截取BP=B＇P＇5）经过A、M、P三点作⊙O即为所求奎屯王新敞新疆证明：由作图可知B＇P＇2=A＇B＇·B＇M＇，A＇B＇=AB，B＇M＇=BM，所以BP2=BM·BA，即BP为⊙O的切线，BMA为其割线，且⊙O经过A、M、P三点，故⊙O适合所要求的条件奎屯王新敞新疆CPOABMP＇A＇B＇M＇5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin231sin2xx证：设AD=k（如图）∵AB=2，∴DB=2-k.由CD2=AD·DB，.2123,0432),2()23(22或kkkkk在直角△ACD中，当23kAD时，,332323ADCDtgA∴A=300，B=600.当21kAD时，,32123ADCDtgA∴A=600，B=300.总之，两锐角一为300，一为600.当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin23130sin22当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin23160sin22故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根奎屯王新敞新疆CADB