普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 60版

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1960年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解方程.075522xx(限定在实数范围内)解:移项得75522xx两边平方得,75522xx整理得.2,21,0252212xxxx得乙、有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?.解:共需比赛8552526CC(场)丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列(等比数列各项均为正数).解:设等比数列的首项为)0(aa,公比为)0(qq,即,,,2aqaqa分别取此等比数列各项的对数,即,lg2lg,lglg,lgqaqaa这就形成首项是,lga公差是qlg的等差数列丁、求使等式2cos2sin12xx成立的x值的范围(x是00~7200的角).解:要使等式2cos2sin12xx成立,必须,02cosx由此可得角2x在第一象限或第四象限而已知条件中限定x为00~7200的角,由此可得36022709020xx或.7205401800xx或戊、如图,用钢球测量机体上一小孔的直径,所用钢球的中心是O,直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD是9mm,求这小孔的直径AB的长奎屯王新敞新疆解:联结OA则OA=OC=6(mm)OD=CD-OC=9-6=3(mm)又)(3393622mmODAOAD).(362mmADAB己、四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形,PA与底面垂直,已知PA=3cm,P到BC的距离是5cm,求PC的长奎屯王新敞新疆解:∵ABCD是正方形,而且PA⊥平面ABCD,∴PB⊥BC(三垂线定理)在直角△PAB中)(4352222cmPAPBAB在直角△PBC中).(41452222cmBCPBPC2.有一直圆柱高是20cm,底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm3,求这长方体底面的长与宽.COABDPADBC解:设长方体底面的长是xcm,宽是ycm.根据题意可得方程组,).(52),(5410040)52(8002022222cmycmxyxxyyxxy解得即3.从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔,船以30里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到0.1里)奎屯王新敞新疆解:由题意,船位于点O,看到灯塔A,半小时后船沿OB方向行至B,由于A在B的正西,所以延长BA交OC于C,且必有BC⊥OC奎屯王新敞新疆∵∠OBC=∠BOC=450,∴OC=BC=OB·sin450=15×22CA=OC·tg300=15×22×23=265(里)∴AB=CB-CA=5.4)33(2252652215(里)故这时船与灯塔的距离约为4.5里奎屯王新敞新疆4.要在墙上开一个矩形的玻璃窗,周长限定为6米(1)求以矩形的一边长x表示窗户的面积y的函数;(2)求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;(3)画出这函数的图像,并求出x的允许值范围奎屯王新敞新疆解:(1)因为矩形周长为6米,所以若设其长为x米,则其宽为O东450300CAB南3-x奎屯王新敞新疆∴窗户的面积y=x(3-x)=-x2+3x.(2)由y=-x2+3x,可得49)23(2xy故其顶点坐标为),49,23(对称轴方程为.23x(3)令x2-3x=0,∴x1=0,x2=3.故图象与x轴相交于点(0,0),(3,0),其图象如图根据问题的实际意义,必须y0,所以x的允许值范围为:0x3.5.甲、已知方程0cos3sin422xx的两个根相等,且为锐角,求和这个方程的两个根奎屯王新敞新疆解:由题设,方程的两个根相等,故其判别式.60,).(2cos21cos,02cos3cos2,0cos24)cos1(16,0cos24sin16,0cos324)sin4(422222为锐角由已知舍或解之得acb由此,原方程化为.23,0233222xxx其相等的二根为Y(49,23)OX乙、a为何值时,下列方程组的解是正数?8442yxayx解:消去x,得,12)8(ya.8816,812aaxay于是可得欲使其解x,y均为正数,必须.8,2.08,0816,0812,08816aaaaaaa即必须故当2a时,方程组的解均为正数奎屯王新敞新疆

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