普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 65年

更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher1965年普通高等学校招生全国统一考试数学1．如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积奎屯王新敞新疆解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为a2奎屯王新敞新疆底面边长为a，故底面积2323aS棱锥的高,3ah故正六棱锥的体积.233233313132aaaShV2．在A处的甲船测得乙船在北偏西8449的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西度的方向沿直线驶去追赶乙船，问是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150)解：设经过x小时后，甲船在C处追上以船，则BC=22x（里）AC=26x（里）由正弦定理a2aC北B8449西A更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher⌒.33951408449,51408449,8104.126lg8449sinlg22lg)8449sin(lg,268449sin22)8449sin()8449180sin(26)8449sin(22,sinsin取对数得即xxABCACCABBC3．把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是度，它们的经度相差度)1800(，求A、B两地之间的球面距离奎屯王新敞新疆解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，设其长为L，且设AOB过A、B作平面O1AB⊥NS（极轴），此平面与球面交成圆O1奎屯王新敞新疆设其半径为r，由已知，∠AO1B=奎屯王新敞新疆设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，则由已知，∠AOC=∠BOD=奎屯王新敞新疆在过A、B的大圆上有180RL由此可知，只需求出即可奎屯王新敞新疆在圆O1中，线段AB=,2sin2r又在过A、C的大圆中，因∠OO1A=900，∠OAO1=，所以cosRr代入上式，可得线段AB=.2sincos2R在△AOB中，线段AB=,2sin2R于是可得2sin2R=,2sincos2R所以).2sinarcsin(cos2NO1BAODCS更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher由此可得A、B两地之间的球面距离为).2sinarcsin(cos1802RL此处之角度以度为单位奎屯王新敞新疆4．（1）证明.|sin|2|2sin|xx（x为任意值）（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明.|sin||sin|xnnx（x为任意值）证：（1）.|cos||sin|2|cossin2||2sin|xxxxx|sin|2|2sin|,1|cos|xxx（2）当n=1时，结论显然成立奎屯王新敞新疆假设当n=k时结论成立，即.|sin||sin|xkkx当n=k+1时，.|sin|)1(|sin||sin||sin||cos||cos||sin||sincos||cossin||sincoscossin||)1sin(|xkxxkxkxxkxxkxxkxxkxxkxxk故当n为任意正整数时，结论均成立奎屯王新敞新疆5．已知一点P的坐标是（4，-2），直线L的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是14)1(2)1(22yx，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标，并画出此题的略图奎屯王新敞新疆解：曲线C是椭圆，中心在（-1，1），其长轴平行于y轴，短轴平行于x轴（如图）更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher设直线L1过点P（4，-2）且垂直于直线L与曲线C相交于点A、B奎屯王新敞新疆L1的方程为y+2=-(x-4)即y=-x+2.欲求L1与曲线C的交点，解方程组.3,1;35,31)2(2)1(14)1(2)1(221122yxyxxyyx得故直线L1与曲线C的交点为).3,1(),35,31(BA6．当P是什么实数时，方程032pxx与方程xx420)1(p有一公共根？解：设是它们的公共根，则)2(0)1(4)1(0322papa由（1），（2）消去2，得,03)44()44(),1()3()3(44,0)4()4(2pppppppPp得代入将整理后，得到,03216223ppp.2,016,0)16)(2(22pppp代入（3），得.342)2(4YBy-x-5=0CAXOP(4,-2)LL1更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher故当p=-2时，方程032pxx与方程xx420)1(p有一公共根3奎屯王新敞新疆7．已知抛物线,22xy（1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2,y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为321||161yy（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1,y2表示出来奎屯王新敞新疆（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积奎屯王新敞新疆解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2,y2），∴P1P2的中点为)2,2(21211yyxxM点P3的横坐标,8)(22212yyyx纵坐标221yyy奎屯王新敞新疆△P1P2P3的面积=128)(1121212212211yyyyyxyx的绝对值YP1Q1M2P3M1XOQ2M3P2更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher|)()(24|||161|)(8)(222|21|)(8)(2|212212212121221212121222212212212121121221yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyxxyxyx|)(|||16122121yyyy.||161321yy（2）∵P1的坐标为（x1，y1），P3的坐标为)2,8)((21221yyyy，∴P1P3的中点为)43,1625(212221212yyyyyyM，点Q1的横坐标,32)3(22212yyyx纵坐标.4321yyy同理，点Q2的横坐标,32)3(221yyx纵坐标.4321yyy△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积=128)(14332)3(121212212122111yyyyyyyyyx的绝对值+114332)3(128)(21222122121221yxyyyyyyyy的绝对值更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher.||641|)(|||1281|)(|||1281|])(4)3[(4)]3()(2[8)3)(()]3()(2[|161|])(4)3[(4)]3()(2[8)3)(()]3()(2[|1613212122122112221221221212121212122221221221212121212122yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积S=S△P1P2P3+（S△P1Q2P3+S△P3Q2P2）+….||121411||161||2561||641||161321321321321321yyyyyyyyyy8．附加题奎屯王新敞新疆（1）已知cba,,为实数，证明cba,,均为正整数的充要条件是000abccabcabcba（2）已知方程023rqxpxx的三根,,都是实数，证明,,是一个三角形的三边的充要条件是.840,0,03rpqprqp证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知,0,0,0cba所以立即可得0cba，0cabcab，.0abc下面证明条件的充分性：更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher设cba,,是三次方程023rqxpxx的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有,0,0,0abcrcabcabqcbap此即.0,0,0rqp由此即可知三次方程023rqxpxx的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0abc可知，方程无零根，故.0,0,0cba（2）由（1）的证明可知，,,均为正数的充要条件是.0,0,0rqp于是问题转化为证明,,为三角形三条边的充要条件为rpqp843条件的必要性：若,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有.,,于是.0,0,0由此可得))()((084)842(]8)(4)(2[)2)(2)(2()2)(2)(2(33323rpqprpqppppppppppp即rpqp843.条件的充分性：若rpqp843，则,0843rpqp更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher.0))()((,0])()[(,0)()()(,0))(()()(,08])(2)()][([,08)222)((,08))((4)(22222223222223此式中至少有一因式大于0，今设,0则必有.0))((如果,0,0两式相加得02a，即0，此与0相矛盾故有,0,0,0此即,,,此即,,可作为一个三角形的三条边奎屯王新敞新疆综上所证可知，方程023rqxpxx的三根,,为一个三角形的三条边的充要条件是.840,0,03rpqprqp