离散型随机变量的均值

2.3.1离散型随机变量的均值高二数学选修2-3白银九中制作：胡贵平X一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．复习引入对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.一.新课引入问题1:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按的比3:2:1例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?分析:由于在1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是,所以混合糖果的合理价格应该是kgkgkg61,31,21)/(23613631242118kg元它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是61,31,21注意:权数就是从混合糖果中任取一颗糖果,取到每种糖果的概率,其前提是”质量相同”把从混合糖果中取出一颗糖果看成是一次随机实验,可定义随机变量cbaX如果取出的是如果取出的是如果取出的是,36,24,18分别把18元/kg,24元/kg,36元/kg的糖果表示为a,b,c则X是离散型随机变量,其分布列为X182436P213161因此,权数恰好是随机变量X的分布列.这样,每千克混合糖果的合理价格可表示为)36(36)24(24)18(18XPXPXP问题2、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均互动探索一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE2211)(则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x······1p2pip······nxnpX设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxnnnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabXaE)(一、离散型随机变量取值的平均值数学期望1122()iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpX二、数学期望的性质()()EaXbaEXb三、基础训练1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E(ξ)=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E(η)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,则a=b=.0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pppXE)1(01）（四、例题讲解小结：例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)31222333()00.310.70.320.70.330.7EXCC1.2)(XE7.03证明：n),0,1,2,(kqpCk)P(ξknkkn0nnnknkkn1n11nn00nqpnCqpkCqpC1qpC0Eξ)qpCqpCqpCqpnp(C01n1n1n1)(k1)(n1k1k1n2n111n1n001n所以若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np．证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np1().nnppqnp一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则npXE)(小结：基础训练：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.3例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个,求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1～B(20,0.9),X2～B(20,0.25)EX1=20X0.9=18,EX2=20X0.25=5由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2因此,他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X1)=5EX1=5X18=90E(5X2)=5EX2=5X5=25思考:(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?(2)他的均值为90分的含义是什么?不一定.他的成绩是一个随机变量,可能取值为0,5,10,…95,100含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好?解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即X1=3800采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失2000元,即无大洪水，有大洪水,2000620002X采用第3种方案,有，无洪水，有小洪水；有大洪水；010000,600003X于是,EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600EX1=3800,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2练习：1、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)0.340.33×0.70.32×0.70.3×0.70.7p54321E=1.43）（六、课堂小结一、离散型随机变量取值的平均值数学期望nniipxpxpxpxXE2211)(P1xix2x······1p2pip······nxnpX二、数学期望的性质bXaEbaXE)()(三、如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pXE)(四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则npXE)(性质：若X~B（n，P），则EX=nP7EX=0×q+1×p=p性质：如果随机变量X服从两点分布,那么∴EX=pnpqpnpqpnpqpkEXnkpnX～knknkknknknkknknknkknknknCCCCC1101)1(11111011,,(得），则由证明：如果