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一元一次方程知识点与经典题型一、知识网络 二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程．2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果，那么；(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果，那么；如果，那么 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2计算要仔细，分子分母勿颠倒 要点诠释： 理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。知识点三：列一元一次方程解应用题1、列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程． （5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．2、解应用题的书写格式： 设→根据题意→解这个方程→答。3、常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等相遇问题甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题路程＝速度×时间同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程(3)行程问题顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度顺流的距离＝逆流的距离(4)劳力调配问题 从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价商品利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数 知识点四：方程与整式、等式的区别 （1）从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。 （2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。 （3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。三、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程： （1）首先看是否是方程， （2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有： (1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。 (2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。 (3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。 (4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。四、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B 举一反三： [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程： （1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2(2x-x2) 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。 解析：分两种情况： （1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0不可能 综上，a的值为。 [变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是() A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1．巧凑整数解方程： 2、 思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。 解：移项，得。 合并同类项，得2x＝－1。 系数化为1，得x＝－。 举一反三： [变式]解方程：＝2x－5 解：原方程可变形为 ＝2x－5 整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5， 去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5 移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2 合并同类项，得－9x＝－21 系数化为1，得x＝。2．．巧去括号解方程： 4、 思路点拨：含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。 解：去括号，得 去小括号，得 去分母，得(3x－5)－8＝8 去括号、移项、合并同类项，得3x＝21 两边同除以3，得x＝7 ∴原方程的解为x＝7 举一反三： [变式]解方程： 解：依次移项、去分母、去大括号，得 依次移项、去分母、去中括号，得 依次移项、去分母、去小括号，得 ，∴x＝484．运用拆项法解方程： 5、 思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。 解：原方程逆用分数加减法法则，得 移项、合并同类项，得。 系数化为1，得。5．巧去分母解方程： 6、 思路点拨：当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。 解：原方程化为 去分母，得100x－(13－20x)＝7 去括号、移项、合并同类项，得120x＝20 两边同除以120，得x＝ ∴原方程的解为 总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。 举一反三： [变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。 解：原方程可变形为(__________________________) 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(__________________________) 去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________） (____________________),得9x-4x=-15-2.(____________________________) 合并，得5x=-17.(合并同类项) （____________________）,得x=.（_________________________） 【答案】解：原方程可变形为(_分式的基本性质_) 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(_等式性质2_) 去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_） (______移项_______),得9x-4x=-15-2.(等式性质1_) 合并，得5x=-17.(合并同类项) （_______系数化为1____）,得x=.（等式性质2）6．巧组合解方程： 7、 思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。 解：移项通分，得 化简，得 去分母，得8x－144＝9x－99。 移项、合并，得x＝－45。7．巧解含有绝对值的方程： 8、|x－2|－3＝0 思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。 解法一：移项，得|x－2|＝3 当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5 当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。 所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：x＝5或x＝－1。 解法二：移项，得|x－2|＝3。 因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。 分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。 举一反三： 【变式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是________. 【答案】； [变式2]5|x|-16＝3|x|-4 解：5|x|-3|x|＝16-4 2|x|＝12 |x|＝6 x＝±6 [变式