单调性与最大(小)值时函数的最大值最小值

1第2课时函数的最大值、最小值21.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）3观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点处的函数值.最低点处的函数值是0.最高点处的函数值是0.4函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.5函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.6探究点1函数最大（小）值的定义函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.请同学们仿此给出函数最小值的定义7函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.xI()fxN0xI0()fxN8探究点2对函数最值的理解1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在使得.并不是所有满足的函数都有最大值M.如函数,虽然对定义域上的任意自变量都有，但1不是函数的最大值.0,xI0fxM()fxM(),(1,1)fxxx()1fx2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.9探究点3例题解析例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？10分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.11由二次函数的知识，对于函数我们有：2()4.914.718httt214.71.52(4.9)4(4.9)1814.729.4(4.9)th当时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.12例4.已知函数，求函数f(x)的最大值和最小值。2()([2,6])1fxxx分析：这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值.解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x212122121121222()()112[(1)(1)]2().(1)(1)(1)(1)fxfxxxxxxxxxxx则单调性求最值1312211226,0,(1(1)0,xxxxxx由得）1212()()0,()().fxfxfxfx于是即所以，函数是区间[2,6]上的减函数.因此，函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.2fx=x-1（）2fx=x-1（）【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函数的最大值和最小值.14求函数在区间[-1,3]的最大值和最小值。()3fxx【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数.【答案】最大值是9，最小值是-3.151.（2012·洛阳高一检测）函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()(A)a≥3(B)a≤3(C)a≥-3(D)a≤-3D2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________.[21,49]163.求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值.2()fxx【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的.【答案】最大值是9，最小值是0.对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值174.求函数f(x)=kx+2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函数，再根据k0,k0时函数的单调性进行解答.【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2；k0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2;k0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.185.求函数在区间[0,4]上的最小值.2()2fxxax【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点.根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分a0,0，a4,结合函数的单调性解决.画出不同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路.4a【答案】2min0,(0),(),(04),168,(4).afxaaaa196.周长为12的矩形的面积的最大值是多少？【提示】以x表示矩形的一边长，根据周长也可以用x表示矩形的另外一边长，这样就建立起了矩形的面积关于x的函数.【答案】设矩形的一边长为x,另外一边长为6-x，矩形的面积y=x(6-x)=,当x=3时矩形的面积最大，最大值是9.26xx201.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性.3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.21在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.——亚里士多德