热力学统计物理-第八章-玻色统计和费米统计

1热统2热统定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）1)2(2/32hmkTNVe23/23()12NhenVmkT§8.1热力学量的统计表达2/321)2(hmVZ经典极限条件（非简并条件）1ZNe一、从非简并到简并1leall1eleall玻色分布和费米分布趋向于玻耳兹曼分布。100lllallaZee孤立系统3热统1leall玻色统计费米统计llelll)1()1ln(lnlell不满足非简并条件采用玻色分布或费米分布二、巨配分函数1leaUllllll1lllllNae对比玻耳兹曼分布leZll01开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。4热统)1ln(lnlell1lllllNae)1ln(lnlellllllee1)1(llle1NlnN1平均粒子数eZN1对比玻耳兹曼分布三、用巨配分函数表示热力学量N5热统1leaUllllll)1ln(lnlelllllllee1)(lllle1UlnU2内能)1ln(lnlell对比玻耳兹曼分布1lnZUN6热统3广义力)1ln(1ln1leyyllyeelllll1)1(yellll1Yln1yYyalll压强ln1Vp)1ln(lnlelllllYay对比玻耳兹曼分布1ln1ZYNyVZNp1ln7热统4其它热力学函数()(ln)ln(ln)dUYdydNddydydddyyddln)ln(lnln)ln(***)(ln)ln()ln(ddd*)lnln(lndTdSTdSdNYdydU由开系的热力学公式8热统)lnln(lndTdS)lnln(lnkS熵kT1kT(ln)SkUNlnkS()dUYdydN(lnlnln)dSkdlnUlnN与玻耳兹曼关系比较9热统)(lnNUkSlllllEBaa)!1(!)!1(.lllllllllllEBaaaalnln)(ln)(ln.对于玻色分布.ln(()ln()lnln)BElllllllllllSkkaaaa.ln(()ln()lnln)BElllllllllllkkaaaa？10热统lnln(1)llle1lealllllaaelllllaalnlllael1lnllllallaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaaaaa(ln)(lnln())llllllllaSkUNkaaa.lnBEk11热统)(lnNUkS.!!()!lFDllllaa.lnlnln()ln()FDlllllllllllaaaa对于费米分布.ln(lnln()ln())FDlllllllllllSkkaaaa.ln(lnln()ln())FDlllllllllllkkaaaa？12热统lnln(1)llle1lllaellllaealnllllaa1llllealnllllallaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaaaaa(ln)(lnln())llllllllaSkUNkaaa.lnFDk13热统玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。1leallleall1e一、弱简并气体1leall(1)lllee虽小但不可忽略e)1(111llleee111lleexxxeee2111§8.2弱简并玻色气体和费米气体14热统考虑平动mp22dmhVgdD2/12/33)2(2)(daDN)()(01)2(22/102/33ledmhVg3/21/2302(2)(1)llVgmeedh)()2(2202/102/12/33dedeemhVgll)211()2(2/32/32eVehmkTgN总粒子数粒子微观状态数6.2.17式15热统0()()UDad)211()2(232/52/32ekTVehmkTg两式相除得到5/231(1)22UNkTe内能)211()2(2/32/32eVehmkTgN又16热统23/21/21/23002(2)()llVNgmeededhdel02/123202/1202/122edeedel,t令dtdt1,1212121则232302230212302/1242212dyeydtetdeytl附录C.15)21()2()21(2)2(2)()2(22323223232/33202/102/12/33eVehmkTgeemhVgdedeemhVgll近似求解过程：17热统xe2321令eeeeeeeeexxxxxx2522232521121211)1)(211(1211211211)211()2(2/32/32eVehmkTgN)211()2(232/52/32ekTVehmkTgUxxxeee2111)211(232/5eNkTU18热统二、弱简并条件物理含义利用玻耳兹曼统计的结果1ZNe2/32)2(1mkThgVN1))2(1211(232/322/5mkThgVNNkTU第二项：微观粒子全同性引起的量子统计关联导致的附加内能费米粒子相互排斥；玻色粒子相互吸引。第一项：根据玻耳兹曼分布得到的内能19热统一、玻色气体的化学势11kTllllleea玻色分布下一个能级的粒子数01lllkTae最低能级000),,(VTN11kTllleVVNn在粒子数给定情况下，μ与T的关系μ随温度的升高而降低kT1kTle0T0cT§8.3玻色—爱因斯坦凝聚20热统连续化1)2(22/102/33kTedmhn.)2(2)(2/12/33dmhVdD11kTllleVVNn001()1()()llNDnadDadVVV1)2(22/102/33ckTedmhn临界温度Tc：所有玻色粒子都在非零能级的最低温度1)2(22/102/330kTedmhnn0能级0能级cTT0n可以忽略cTTn0可以和所有激发态能级上粒子数相比较，即粒子都往能级聚集。021热统0,cTT1)2(22/102/330kTedmhn01)2(22/102/33xedxxmkTh3/223/2)612.2(2nmkTcckTx1)2(22/102/33xcedxxmkTh1)2(2)(2/102/332/3xccedxxmkThTT2/3)(cTTn])(1[2/30cTTnnnn0TcTT0cT1)2(22/102/33ckTedmhn令1/202.61212xxdxe22热统0])(1[2/30cTTnn00nTTnnc2/30)(cTT玻色粒子都在高能级。0])(1[2/30cTTnn00nTTnnc2/30)(cTT高能级装不下所有玻色粒子，必有可观数目粒子出现在零能级。——玻色—爱因斯坦凝聚。23热统因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦凝聚，需要提高临界温度。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。二、热力学量1)2(22/102/33kTedmhn1)2(22/302/33kTedmhU2/3)(770.0cTTNkT2/3)(925.1cVTTNkC3/223/2)612.2(2nmkTcTTc，理想玻色气体的Cv与T3/2成正比，T=Tc达极大值。高温时趋于经典值Nk23TTc时24热统三、发展过程1.理论准备1924.6.24，印度人玻色给爱因斯坦寄“玻色分布”文章。经爱因斯坦努力，该论文发表。在这篇文章基础上，爱因斯坦继续发表论文，提出“玻色凝聚”Bose-EinsteinCondensation(BEC)的概念。2.实验检验1995年7月13日，美国科罗拉多大学报告：铷蒸气在170nK出现BEC。)(87Rb8月，休斯顿Rice大学宣布，在锂蒸气中出现BEC。)(7Li11月，麻省理工学院宣布，钠蒸气中出现BEC.)(23Na25热统S.BoseA.Einstein1924年，玻色和爱因斯坦在理论上预言了玻色—爱因斯坦凝聚（BEC:Bose-EinsteinCondensation）现象,如果将原子气体冷却到非常低的温度，那么所有原子会突然以可能的最低能态凝聚。26热统光子——辐射场能量的量子化，自旋1－玻色子。平衡辐射场中，光子数不守恒。空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子数守恒。§8.4光子气体一、光子气体特性/1lkTe光子气体服从玻色分布1lllae1llkTe0化学势描述物质变化27热统二、普朗克公式德布罗意关系：.,kp1/