一次函数与等腰三角形存在性问题

徐老师初中数学20190607第1页共4页每日一题079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)（如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．可求325:48PElyx，∴25(,0)6P．徐老师初中数学20190607第2页共4页图1-2图1-3图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P的坐标为(x,0)，其中x＞0，然后表达△DOP的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷如图2-1，直线333yx与y、x轴相交于点A、C，动点P以1个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CO向点O移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PCQ为等腰三角形时，求t的值．图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PCQ的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝6－t.因此△PQC符合“边角徐老师初中数学20190607第3页共4页边”的解题条件，我们只需要在∠PCQ的边上取点P或Q画圆．图2-2图2-3图2-4①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝6－t，解得3t(秒).②如图2-3，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM1622tPC.在Rt△QMC中，∵30PCQ∠，∴23CQCM，6223tt，解得333t(秒).③如图2-4，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则1122CNCQt.在Rt△PNC中，∵30PCQ∠，∴23CPCN，6223tt，，解得933t(秒).例❸如图3-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．图3-1【解析】点P(0,m)在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB，M是BC的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D(2,4－m)．于是我们可以表达出△APD的三边长（的平方）：22(4)ADm，224APm，2222(42)PDm．①当AP＝AD时，22(4)4mm．解得32m（如图3-2）．②当PA＝PD时，22242(42)mm．解得43m（如图3-3）或4m（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，222(4)2(42)mm．徐老师初中数学20190607第4页共4页解得23m（如图3-4）或2m（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图3-2图3-3图3-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．②如图3-3，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.