变化率与导数的概念

(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？想一想本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是不行的.问题情境1过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。问题情境3oxyBCBCxxyyk容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.●B●A●C交流与讨论平均变化率的定义：)(xf一般地，函数在区间上的平均变化率为12[,]xx2121()()fxfxxx(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．建构数学理论说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.yx（以直代曲思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚平均变化率)(xf一般的，函数在区间上的平均变化率为],[21xx其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。结论：yx2121()()fxfxxx例1、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.数学应用思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？例2、已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].432.12.001（5）[0.9，1]；（6）[0.99，1]；（7）[0.999，1].变题:1.991.91.999课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？数学应用xyp133.1.2导数的概念高二数学选修1-1第三章导数及其应用在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ二.新授课学习2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度可以得到如下表格△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?..,,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt..时的极限趋近于当是我们称确定值022113tthth瞬时速度0limt(2)(2)13.1hthtｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００示？处的瞬时变化率怎么表在ｘ＝ｘｘ２、函数ｆ０xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：１、函数的平均变化率怎么表示？思考：ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ００0xlim000xxyxfxxxfy＝或记作：处的导数，＝在＝我们称它为函数定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xxxfxxfxxylim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：22(1)(1)[(1)(1)]xx2()3xx2()3yxxxx平均变化率3x/00(1)limlim(3)3xxyfxx例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)(21)1()1(222xxxy解：,2)(22xxxxxy.2|,2)2(limlim100xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由.yxy已知，求1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx练习:xyxxxxxxDD=+D-=+D+解：.)0(||2的导数数：利用导数的定义求函例xxy||,yx解：0,,xyx当时.0101xxy0,,xyx当时()1,yxxxxx则0lim1;xyx()()1,yxxxxx0lim1;xyx练习：(1)求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数解：(1)∵Δy＝1x＋Δx－1x＝－Δxxx＋Δx(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.(2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c)∴ΔyΔx＝－1xx＋Δx∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[－1xx＋Δx]＝－1x2∴f′(1)＝－112＝－1＝2axΔx＋a(Δx)2∴f′(x)＝limΔx→0(2ax＋aΔx)＝2ax∴ΔyΔx＝2ax＋aΔx∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.,,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义xfxfxy22.'6f和262',fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00'xxyfxx所以.'56f同理可得.运算过程请同学们自己完成具体0026,35.2,3/;6,5/.hhhChhCh在第与第时原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近原油温度大约以的速率下降在附近原油温度大约以的速率上升0'0,.fxx一般地反映了原油温度在时刻附近的变化情况计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。35f13f）＝（，＝－解：这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。练习：小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限;svt00()().limlimxxssttsttt2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限yx'00()limxyfxx