1.1.2导数的概念

1.1.2导数的概念问题3高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算00.52:ttv和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05(/)0.50(2)(1)28.2(/)21hhtvmshhtvms在这段时间里，在1这段时间里，计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢?如何求（比如t=2时）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势：当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度tthv9.41.13探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt1.13)2()2(lim0ththt表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f’(x0).)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx或y’|x=x0,即（1）f’(x0)与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不同；f’(x0)与△x的具体值无关。（2）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f’(x0).)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx或y’|x=x0,即由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf一差、二化、三极限例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)(21)1()1(222xxxy解：,2)(22xxxxxy.2|,2)2(limlim100xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMyx00002020()():limlim(1)1(11)lim2()lim2.xxxxfxxfxyxxxxxxx解'(1)2f例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.课堂练习:如果质点A按规律s=2t3则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81•练习2．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；（２）求运动开始后４s时物体的动能。21()2Emv200022253limlimlim(253)251110253125()22xxxsttvtttEmvJ解：小结：求函数y=f(x)的导数的定义方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf一差、二化、三极限:)(40处的导数在点、xxfy00)()(lim0xxxfxfxx.)()(limlim)(00000xxfxxfxyxfxx例4:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:.2)()(lim)2(;)()(lim)1(000000hhxfhxfxxfxxfhx分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.);()()(lim)()()(lim)1(0'000000xfxxfxxfxxfxxfxx原式解：).(')](')('[21])()(lim)()(lim[212)]()([)()(lim)2(00000000000000xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh原式练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx)()(lim)2(;)()(lim)1(000000).(1)2();()1(00xftxfm答案：练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和.)()(lim)(axaxfxafafax表示).()()()()(lim)()()]()([lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax解