模拟滤波器

第六章模拟滤波器内容提要•信号无失真传输条件•滤波器的理想与实际特性•滤波器设计方法•巴特沃思滤波器设计•切比雪夫滤波器设计返回目录§6-1滤波器原理概述1.滤波器概述在信号处理中，滤波器技术是用以从接收到的各种信号中提取所需要的信号，抑制或消除不必要的干扰信号。滤波器分模拟滤波器数字滤波器处理的信号均为模拟信号处理的信号均为数字信号下面以工业控制中常用的简单RC无源低通滤波器说明其原理本章主要讨论线性时不变模拟系统滤波器原理如下图示RC电路的低通滤波特性是由其频率响应特性决定的ui(t)Ru0(t)++0tui(t)Cu0(t)0t__(a)RC低通滤波器|H(ω)|Ф(ω)1ωc0.7070ω-π/40ωcω-π/2(b)RC低通滤波器的幅频及相频特性滤波器原理具体分析如下：)()()(00tutudttduRCiRCssUsUsHi11)()()(0jRCRCjUjUjHi11)()()(0)()(arg)()1()1(1)(2222ccccarctgjHRCRCRCjH上式两边进行拉普拉斯变换，并求传递函数H(s),得令s=j代入上式得：其幅频和相频特性为滤波器原理x(t)y(t)y(t)=x(t)y(t)Y(s)=[y(t)]=X(s)H(s)Y()=F[y(t)]=X()H()h(t)经典的模拟滤波器种类很多，一般按其功能分为：低通滤波器（LP），高通滤波器（HP），带通滤波器（BP），带阻滤波器（BS），全通滤波器（LP）。分别示于后。作为一个线性时不变连续系统，模拟滤波器的传输特性分别在时域和频域表示为单位冲激响应h(t)和传递函数H(s)或频率响应H()。滤波器原理低通系统带通系统高通系统带阻系统全通系统滤波器幅频响应分类2.信号不失真传输条件信号不失真条件：y(t)=Kx(t-t0)K为常数，表示输入与输出的波形无畸变。输出波形只是在时间上有一定的滞后。h(t)x(t)y(t)0t0t0tx((t)y(t)AKA信号不失真传输条件对y(t)=Kx(t-t0)两边进行FT有：0)(jtjtjt)(;K|)(H|e|)(H|Ke)(H)(X)(H)(Y)(XKe)(Y00其中：得传输系统频率响应且：上式为线性系统不失真传输条件，即；幅频特性|H()|为一常数K，相频特性()与成正比。如左图示。|H()|K0()t00-t0信号不失真传输条件若不满足信号不失真传输条件，线性系统中信号的传输会产生幅度失真和相位失真。幅度失真：相位失真：指系统对信号中各频率分量产生不同程度的衰减，造成各频率分量幅度的相对比例产生变化。指系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。x(t)0ty(t)0t0t如图表示一含有基波和二次谐波的输入信号x(t),通过不失真传输系统后，输出信号y(t)中基波和二次谐波分量的幅度关系保持不变，延迟时间也相同，均为t0，无失真。信号不失真传输条件对上图具体分析如下：设x(t)表达式为1121()sinsin2mmxtAtAt当其通过一线性系统后，各谐波分量幅度均放大Ｋ倍，同时各频率分量产生相同的相移，输出信号y(t)为121111121211212()sin()sin(2)sin[()]sin[2()]mmmmytKAtKAtKAtKAt为使基波和二次谐波产生相同的延迟时间t0，应有120112tConst说明谐波的相移应满足以下关系1121122信号不失真传输条件将以上关系推广到高次谐波的情况，得出结论：为使信号传输时不产生相位失真，信号通过系统时各次谐波的相移必须与其频率成正比。即0t)(而信号通过系统的延迟时间即为相频特性的斜率，又称群延迟。ddt)(0综上所述，不失真传输系统的理想条件为：系统应具有无限带宽的恒定幅频特性和线性相频特性。实际系统的频率特性无法满足上述理想条件。一般只能要求在信号占有的有效频带范围内，系统的幅频和相频特性基本上满足要求即可。3.滤波器的理想特性与实际特性理想滤波器应具备完全抑制无用的干扰信号，不失真传输有效信号的功能特性。从理想滤波器频域范围考虑在一般情况下有用信号和无用信号分别占有不同频带。因此理想滤波器只须在有用信号的频带内保持幅值为一常数，相位为线性。而在该频带以外幅值应下降为零，相位则无关紧要。故称理想滤波器中使信号容易通过的频带为通频带，抑制信号通过的频带为阻带。理想滤波器是一个非因果系统，因此是物理不可实现的，下面以一个例子加以说明。设一理想低通滤波器的频率特性表示为||()||0djtccKeH其中：c—理想低通滤波器通带截止频率；td—延迟时间。以下通过理想低通滤波器的冲激响应进行分析，并设K=1；滤波器的理想特性与实际特性h(t)波形示于后面的图中。从图中可见在t=0瞬间输入信号为一单位冲激激励信号(t)，在延迟了t0后响应h(t)波形才达到最大值。且当t0时，h(t)0，说明当t0时也存在响应，不符合因果系统条件，因此该理想滤波器物理上无法实现。1001()[()]21[cos()sin()]21cos()1cos()[()]dcjtjtddddcdhtFHeedttjttdttdttdSatt滤波器的理想特性与实际特性(t)(1)0tdth(t)0tdtd|)(H|2因果性在时域中表现为响应必须出现在激励之后。因果系统的幅频特性|H()|满足：理想低通滤波器的冲激响应2|ln|()||1Hd且还应满足下面关系式：称之为“佩利-维纳”准则不满足因果性滤波器的理想特性与实际特性可以看出，如果系统的幅频特性|H()|在某一有限频带中为零，则|ln|H()||,“佩利-维纳”准则式中的积分不再是有限值，而是趋于无穷大，系统不满足因果性故在物理上不可实现。0czc|H()|通带过渡带阻带结论：理想滤波器都是物理上不可实现的。如果系统是物理可实现的，其幅频特性只能在某些频率点上为零，而不能在一个有限频带内为零。虚线表示：理想滤波器实线表示：实际滤波器§6-2传递函数设计的一般方法1.幅度平方函数及性质通过求|H(jω)|2寻找|H(s)|，从而求出h(t)=-1[H(s)]。由于|H(jω)|具有共轭对称性，即)j(H)H(jω得)j(H)H(jω)j(H)H(jω)H(jω2令)jωH()H(jω)H(jω)(A22称|H(jω)|2为幅度平方函数上式说明幅度平方函数是以ω为变量的有理函数2.由幅度平方函数A(2)求传递函数H(s)按幅度平方函数和传递函数的关系，得2S22js22js22)(A)s(A)(A)s(H)H(s)(A)H(jω比较以上两式，得222S22)H(s)s(H)H(s)s(A)(A由上式可知，将幅度平方函数A(2)中的2用-s2代入即可求出A(-s2)，并求出其零极点再恰当的分配给H(s)和H(-s)，便可求出H(s)。但是如果要求H(s)为具有最小相位系统的传递函数，H(s)的零点亦应选择左半平面，则H(s)的选择就是唯一的。为使滤波器系统稳定，须将左半平面的极点分配给H(s)，右半平面极点分配给H(-s)。零点选择无此限制。§6-3巴特沃思滤波器1.巴特沃思滤波器的幅频特性巴特沃思滤波器的幅度平方函数定义为：2n2c22)/(11)(A)j(Hn2c)/(11)j(H或式中：n为正整数，c为截止角频率。10.707(n1n2n3)n3n2n10ωcω|H(jω)|巴特沃思滤波器特性曲线可见c对应的|H(c)|，其衰减为(c)=-20lg|H(c)|=3dB,称c是滤波器电压-3dB点或半功率点。由巴特沃思滤波器特性曲线得出不同阶次的滤波器幅频特性有以下特点：巴特沃思滤波器的幅频特性2.巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系在=0处|H(j)|的前(2n-1)阶导数都为零，表明巴特沃思滤波器在=0附近的一段范围内是非常平直的。在=c处|H(jc)|=0.707，即幅频特性曲线在c点下降3dB。随着n的增加通带下降愈陡峭接近理想，但总是通过-3dB点。当c时，幅频特性以20ndB/dec速率下降。|H(j)|在通带和阻带上的单调性，说明该滤波器有较好的相频特性。巴特沃思滤波器幅度平方函数|H(j)|2无零点分布，极点为2n个且成等角度分布在以|s|=c为半径的圆周上，称为巴特沃思圆。具体分析如后：（1）最大平坦性（2）3dB不变性（3）通带、阻带下降单调性巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系令j=s有n2cj2js11|)s(H|为求出|H(s)|2的2n个极点，可由下面的推导得出；)n2,,2,1k(eejs)n2,,2,1k(e1s)1(0s)1(10js12n21k2jcn21k2jck)1k2(jn2cnn2cnn2c当n为偶数，有)n2,,2,1k(esn2)1k2(jck当n为奇数，有)n2,,2,1k(esn2k2jck巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系Sk即为|H(s)|2的极点，极点分布有以下特点：(1)|H(s)|2的２n个极点以／n为间隔均匀分布在半径|s|=c的圆周上，称为巴特沃思圆。(2)所有极点以虚轴为对称轴分布，且虚轴上无极点。(3)当n为奇数时，有两个极点分布在s=c的实轴上；当n为偶数时，实轴上无极点，所有极点均以虚轴呈对称分布。jj00/3/8n3|H(s)|2函数的极点分布n4|H(s)|2函数的极点分布此图给出了n=3,n=4|H(s)|2极点分布巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系为得到稳定的H(s)，取|H(s)|2的左半平面极点；即]}s))(cos(2s)[s{()ss)(ss()s(Hn}s)][cos(2s{)ss)(ss()s(Hn)ss()s(H2c2n21k2c2c21n1knckk21n1knc2c2n21k2c22n1knckk2n1knckn1knc为奇数；当为偶数；当将分子、分母分别除cn，并令s=s/c，s称为归一化复频率；得巴特沃思滤波器传递函数与极点分布关系将以上两式的分母多项式制成相应的表格6.3-1，称该分母多项式为巴特沃思多项式（此处s仍写为s)。]}1's))(cos(2's)[1's{()'s(Hn}1's)][cos(2's{1)'s(Hn2n21k2221n1knc2n21k222n1k为奇数；当为偶数；当表6.3-1巴特沃思滤波器传递函数分母多项式形式n巴特沃思多项式Bn(s)1s+12s2+2s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.445s+1)(s2+1.247s+1)(s2+1.802s+1)8(s2+0.3902s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.1663s+1)(s