函数的单调性专题训练

1函数的单调性专题训练基础巩固一、选择题1．下列函数在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝1－2xB．y＝1xC．y＝x－1D．y＝－x2＋2x2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性3．函数f(x)＝x2＋1，x≥0，－x2，x0的单调性为()A．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C．不能判断单调性D．在(－∞，＋∞)上是增函数4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是()A．f(3)f(－4)f(－π)B．f(－π)f(－4)f(3)C．f(－4)f(－π)f(3)D．f(3)f(－π)f(－4)5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是()A．[－12，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－12]D．(－∞，＋∞)6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)二、填空题7．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝1fx是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________.8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________.2三、解答题9．已知函数f(x)＝x－1x＋1，判断f(x)在(0，＋∞)上单调性并用定义证明.10．若函数f(x)＝2b－1x＋b－1，x＞0－x22－bx，x≤0在R上为增函数，求实数b的取值范围.[分析]分别考虑两个分段解析式的单调性→再根据整体的单调性求b的取值范围能力提升一、选择题1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)f(1)的实数x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(12，＋∞)D．(－∞，12)2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定33．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)＜0B．增函数且f(0)＜0C．减函数且f(0)＞0D．增函数且f(0)＞04．下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数二、填空题5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________.6．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(34)的大小关系为________.三、解答题7．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.8．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)4函数的单调性专题训练答案基础巩固一、选择题1．下列函数在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝1－2xB．y＝1xC．y＝x－1D．y＝－x2＋2x[答案]D[解析]作出y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0,1)上为减函数，而y＝x－1的定义域为[1，＋∞)不合题意．故选D.2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性[答案]C[解析]若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，故选C.3．函数f(x)＝x2＋1，x≥0，－x2，x0的单调性为()A．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C．不能判断单调性D．在(－∞，＋∞)上是增函数[答案]D[解析]画出函数的图象，易知函数在(－∞，＋∞)上是增函数．4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是()A．f(3)f(－4)f(－π)B．f(－π)f(－4)f(3)C．f(－4)f(－π)f(3)D．f(3)f(－π)f(－4)[答案]D[解析]∵f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，5∴f(3)f(π)f(4)，∴f(3)f(－π)f(－4)．5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是()A．[－12，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－12]D．(－∞，＋∞)[答案]C[解析]y＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34，其对称轴为x＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴x≤－12时单调递减．6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案]C[解析]因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，所以2m－m＋9，即m3，故选C.二、填空题7．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝1fx是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________.[答案]①②④8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________.[答案](－∞，40]∪[64，＋∞)[解析]对称轴为x＝k8，则k8≤5或k8≥8，得k≤40或k≥64.三、解答题9．已知函数f(x)＝x－1x＋1，判断f(x)在(0，＋∞)上单调性并用定义证明.[思路点拨]作差→变形→定号→下结论[解析]f(x)在(0，＋∞)上单增．证明：任取x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋1－x2－1x2＋1＝2x1－x2x1＋1x2＋1，由x1＞x2＞0知x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单增．10．若函数f(x)＝2b－1x＋b－1，x＞0－x2＋2－bx，x≤0在R上为增函数，求实数b的取值范围.[分析]分别考虑两个分段解析式的单调性→再根据整体的单调性求b的取值范围6[解析]由题意得2b－1＞02－b≥0b－1≥0，解得1≤b≤2.①[注意]①本题在列不等式组时很容易忽略b－1≥f(0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f(x)在整个定义域上的单调性．[方法探究]解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子.能力提升一、选择题1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)f(1)的实数x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(12，＋∞)D．(－∞，12)[答案]D[解析]∵f(x)在R上为减函数且f(2x)f(1)．∴2x1，∴x12.2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定[答案]D3．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)＜0B．增函数且f(0)＜0C．减函数且f(0)＞0D．增函数且f(0)＞0[答案]A[解析]∵y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A.4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数[答案]C7[解析]∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－12x时，则f(x)＋g(x)＝12x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定．二、填空题5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________.[答案][0，32][解析]y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3xx＞0，x2－3xx≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．6．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(34)的大小关系为________.[答案]f(a2－a＋1)≤f(34)[解析]∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥340，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f(34)．三、解答题7．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.[解析](1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5，∴f(2)＝3.(2)f(m－2)≥f(2)∴m－2≤2m－2＞0，∴2＜m≤4.∴m的范围为(2,4]．88．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析](1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如图所示．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减