函数对称性总结

函数的对称性一、三角函数图像的对称性函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无二、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(,)ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(,)ab对称。6、)(xafy与)(bxfy关于直线2bax对称。二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数xfy满足xbfxaf，则函数xfy的图象关于直线2bax对称.推论1：如果函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称.推论2：如果函数xfy满足xfxf，则函数xfy的图象关于直线0x（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数xfy满足bxafxaf2，则函数xfy的图象关于点ba,对称.推论3：如果函数xfy满足0xafxaf，则函数xfy的图象关于点0,a对称.推论4：如果函数xfy满足0xfxf，则函数xfy的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.性质5：函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(xfy与)(xfy关于X轴对称。2、曲线)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。3、曲线)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。4、曲线0),(yxf关于直线bx对称曲线为0)2,(ybxf。5、曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为0),(cxcyf。6、曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为0),(cxcyf。7、曲线0),(yxf关于点),(baP对称曲线为0)2,2(ybxaf。例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）例3．若函数xxf2log3)(的图象与)(xg的图象关于对称，则函数)(xg=。例4．函数)()(axfyaxfy与函数的图象关于对称