第三章-应变分析

第三章应变分析3－1位移与应变、几何方程3－2一点应变状态、应变张量3－3体积应变3－4应变球张量和应变偏量3－5应变协调方程第三章应变分析3－1位移与应变几何方程由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就会产生位移。一、位移第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。两种位移：M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）在数学上，x'，y'，z'必为x，y，z的单值连续函数u=x'-x=u（x，y，z）v=y'-y=v（x，y，z）w=z’-z=w（x，y，z）位移函数具有三阶连续导数xzy点的位移为MM'二、应变对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短正应变二是棱边之间夹角的变化（剪）切应变符号规定：伸长为正，缩短为负直角变小为正，直角变大为负正应力剪应力正应变剪应变3－2位移与应变的关系——几何方程m点的坐标为(x，y）a点的坐标为(x+dx，y）b点的坐标为(x，y+dy）变形前：变形后：m'点的坐标为(x+u，y+v）a'点的坐标为(x+dx+u+微分增量，y+v+微分增量）b'点的坐标为(x+u+微分增量，y+dy+v+微分增量）则，a点的位移为：xudxdxdxxudxMaMaaMx)('''dxxvvdxxuub点的位移为：dyyvvdyyuuyvdydydyyvdyMbMbbMy)('''同理：yvyxuxzwz上式为正应变的几何方程同理：yuxvxyzvywyzyuxvxyxwzuzx上式为剪应变的几何方程yvyxuxzwzzvywyzyuxvxyxwzuzx这六式为几何方程（柯西方程）四、转角方程xwzuyzvywxyuxvz3－3一点应变状态、应变张量一、应变张量与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量二、应变坐标转换式新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦同应力转换一样，得到：三、主应变及应变张量不变量0'3'22'13III)(41')(41''222322221zxyzxyxyzzxyyzxzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII3－4体积应变单元体的体积：dzdydxdV)1()1)(1)(1())()(('zyxzyxdxdydzdxdydzdzdzdydydxdxdVzyx变形后，体积：zyxzyxdxdydzdxdydzdxdydzdVdVdV)1('则，体积应变：mmmm000000iimzzyzxyzmyyxxzxymx222222)(31mzyx3－4应变球张量和应变偏量平均应变应变球张量应变偏张量可得应变偏量的三个不变量：])()()[(41))()((')](23)()()[(61'0)()()('222322222221zxyzxyxymzxzmyyzmxmzmymxzxyzxymzmymxmzmymxJJJ当取坐标轴为应变主轴时有：))()((])()()[(610321321323222121mmmJJJ3－5应变协调方程yvyxuxzwzzvywyzyuxvxyxwzuzx首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式分别对x和y求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程圣维南（SaintVenant）方程。