高中数学恒成立问题与有解问题的区别

恒成立问题与有解问题的区别山东沂源二中石玉台（256100）恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有0)(0)(nfmf例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有00a，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得-3a-2;综合可得a的取值范围为[-3，1]。1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x45a-a+5要使上式恒成立，只需45a-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴45a-a+53即45aa+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa解得485a。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。2、有解问题2.1有解问题与二次不等式联系例4、不等式220kxk有解，求k的取值范围。解：不等式220kxk有解2(1)2kx有解221kx有解2max221kx，所以(2)k，。2.2有解问题与绝对值不等式联系例5、对于不等式21xxa，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意[05]x，，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合MN，．解：由21(1)()213(12)21(2).xxfxxxxxx，，≤≤又()afx有解min()3afx，所以{3}Maa．令()gx21[05]()xxxagx，，，恒成立max()(5)9agxg．所以{9}Naa．2.3有解问题与导数联系例6、（06年湖北）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)ex3,xR的一个极值点.(1)求a与b的关系（用a表示b），并求f(x)的的单调区间；（2）设a0，g(x)=xea4252，若存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，求a的取值范围.解析：（1）xeabxaxxf32])2([)(，由)3(f=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3)xe3因为)(xf=-[x2+(a-2)x-3a-3]xe3=-(x-3)(x+a+1)xe3.由)(xf=0得：x1=3，x2==-a-1.由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4.当a-4时，x1x2，故f(x)在3,上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在,1a上为减函数.当a-4时，x1x2，故f(x)在1,a上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在,3上为减函数.(2)由题意，存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，即不等式|f(S1)-g(S2)|1在S1，S2[0，4]上有解.于是问题转化为|f(S1)-g(S2)|min1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S1)和g(S2)在[0，4]上值域.因为a0，则-a-10，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减.故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e3,a+6]，而g(x)=xea4252在[0，4]上显然为增函数，其值域422425,425eaa因为22251(6)()0,42aaa故22564aa|f(S1)-g(S2)|min=225(6)4aa，从而解230,01)6(4252aaaa得.故a的取值范围为23,0。假若问题变成：“对任意的S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|1都成立，求a的取值范围.”则可将其转化为|f(S1)-g(S2)|max1。点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具.本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。3、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。（1）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf,)(maxxI.或f(x)的上界小于或等于k；（2）不等式f(x)k在xI时有解kxf,)(minxI.或f(x)的下界小于k；（3）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf,)(minxI.或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式f(x)k在xI时有解kxf,)(maxxI.或f(x)的上界大于k；解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故hmin(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故hmin(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故hmax(x)≥0，由（1）知hmax（x）=k+7，于是得k≥-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(minmaxxxgxf，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-32或-1，易得21)3()(mingxg，又f(x)=8(x+1)2-8-k，]3,3[x.故.120)3()(maxkfxf令120-k≤-21，得k≥141。点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。参考文献：1、张世林郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].-数学爱好者(高考版).山西省期刊协会2、代学奎.区别“有解”与“恒成立”[EB]数学中国。