直线与椭圆的位置关系(新授课-两个课时)

直线与椭圆的位置关系学习目标1、理解并会判断直线与椭圆的位置关系；2、熟记弦长公式并会计算；3、理解中点弦问题的有关计算方法问题2：怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？drdrd=r∆0∆0∆=0几何法：代数法：复习回顾：直线与圆的位置关系相离(没有交点)相切(一个交点)相交(两个交点)新课探究：直线与椭圆的位置关系的判定222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm消去y24nmp△=0△0△0△=解：联立方程组12yxx2+4y2=225410xx-----(1)所以，方程（１）有两个不等根所以直线与椭圆相交.题型一：直线与椭圆的位置关系例1：已知直线与椭圆，判断它们的位置关系。整理得：因为1620360则原方程组有两组解，12yx2242xy221.4xyxmy练习：讨论直线与椭圆的位置关系2214yxmxy解：联立2244yxmxy即2258440xmxm整理得2226420(44)8016mmm280160m当55m即时，直线与椭圆相交28016=0m当280160m当5m即时，直线与椭圆相切55mm即或时，直线与椭圆相离题型一：直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例2：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？题型一：直线与椭圆的位置关系oxyoxyml解：设直线平行于，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去，得22064-425-2250kk由，得（）450mxyk则可写成：12k25k25解得=，=-25.k由图可知题型一：直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例2：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？oxy45250mxy直线为：22402515414145mld直线与椭圆的交点到直线的距离最近.且思考：最大的距离是多少？max22402565414145d题型一：直线与椭圆的位置关系2214-5400.259xylxyl例2：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？:解(3,0).F右焦点:3lyx直线方程为22314yxxy联立258380yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设1212838,55xxxx221212()()ABxxyy85题型二：弦长问题221212()[(3)(3)]xxxx28382()4552122()xx212122()4xxxx例3：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AB的方程为y=kx+b．弦长公式2121221||1()4AByyyyk可推广到任意二次曲线221212()[()()]xxkxbkxb2212(1)()kxx221212()()xxkxkx221212(1)()4kxxxx221212()()ABxxyy题型二：弦长问题例4:已知点12、FF分别是椭圆2212xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1△FAB的面积.题型二：弦长问题焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解:∵12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.例4:已知点12FF、分别是椭圆2212xy的左、右例5：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：利用韦达定理及中点坐标公式来解决题型三：中点弦问题斜率不存在时，不符合题意，斜率一定存在22211164ykxkxy联立得点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差22221122416,416xyxy题型三：中点弦问题例5：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.练习：已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，求直线l的方程.221369xyx+2y-8=0题型三：中点弦问题3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）21212211?4yyyyk（）2122124·1xxxxk）（解方程组消去其中一元得一元二次型方程△0相离△=0相切△0相交课堂小结当堂练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)求以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程.:(1)解(2,0)F2lyx直线：2225945yxxy由2143690xx得：1212189,714xxxx221212301()47kxxxx弦长练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)求以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程.:(2)解1122(,),(,)MxyNxy设则22115945xy22225945xy22221212590xxyy两式相减得：（）（）1212121259MNyyxxkxxyy5951(1)9AMNyx以为中点的弦为方程为:59140xy即