高等数学-隐函数

第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率机动目录上页下页返回结束隐函数和参数方程求导相关变化率第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)y机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例1求方程1xyeexy所确定的隐函数的导数d.dyx解：方程两边分别对x求导数，xeddyyexyddyxx0所以d.dxyyeyxex例2.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束0exyey)(xyy),(xy),0(y)(xfy)1,0(例3求由方程所确定的隐函数的导数并求出写出通过曲线上点的切线方程.解：方程两边对x求导yeyy10yx0yexyy解出y得将0x代入,0exyey,0eey得1y解得所以)0(y1)1,0(01|eye1)1,0(点的切线方程为1ye1)0(x即11xey例4.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即机动目录上页下页返回结束例5.求由方程二阶导数。确定的隐函数的机动目录上页下页返回结束解：方程两边分别对x求导数，1ddyx1dcos2dyyx0所以d2.d2cosyxy22ddyxd()dx22cosy2(2cos)y02dsindyyx34sin(2cos)yy机动目录上页下页返回结束练：求由方程22arctanlnyxyx所确定的隐函数的导数d.dyxddyxyxxy机动目录上页下页返回结束对数求导法：对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法求导简便些.1)对幂指函数()[()]vxyux，ln()ln()yvxuxyy1()ln()vxux1()()()vxuxux()()()[()](()ln())()vxvxuxyuxvxuxux(),()uxvx都可导.两边取对数(化成了隐函数),然后按隐函数求导法求出的导数.y即例6.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动目录上页下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb机动目录上页下页返回结束例7.设,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对x求导21yy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动目录上页下页返回结束求导数。机动目录上页下页返回结束,)12()2)(1(3122xexxxy.ddxy练习设求解：两边取对数得31lnyln(1)ln(2)xx122ln)12ln(xex31ln(1)ln(2)xx)12()12ln(2xx方程两边分别对x求导数，1yy3111x12x124x232211(1)(2)3(21)xxxyxe11x12x124x2二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束若上述参数方程中二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束12222byax)1()2(xydd例8已知椭圆的直角坐标方程为求及写出椭圆的参数方程；解：.dd22xy)1()2(椭圆的参数方程为：ddxy为求,dd22xytabcot列出参数方程：dd22xytab32csc例9.已知椭圆的参数方程为,sin,costbytax4t机动目录上页下页返回结束求椭圆在相应的点处的切线方程。解:当时，4t椭圆上的对应点为),22,22(ba此点切线斜率为：|4ddtxyk|4)cos()sin(ttatb切线方程为：)22(22axabby|4sincosttatbab机动目录上页下页返回结束)1()2(例10设曲线方程为当时所对应的点与法线方程；解：21t)1(ddxyC求曲线C处的切线方程看成为是x如果把曲线C的函数，.ddyx求点的坐标为：))21(21,)21(1(32)83,43(点切线斜率为：|21ddtxyk机动目录上页下页返回结束)83,43(,410Mk处的83y41)43(x即切线方程为:83y4)43(x即法线方程为:)2(看成为是x如果把曲线C的函数，则ddyx机动目录上页下页返回结束例12求由摆线)cos1()sin(tayttax所确定的函数)(xyy的二阶导数。解:ddxy2cottdd22xy2)cos1(1ta例13.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xyddxy)(tft)(tf,tdd22xy1)(tf解:)()(tftfty练习:P112题8(1)xydd;1t22ddxy21tt31t解:机动目录上页下页返回结束三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动目录上页下页返回结束例15.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对t求导2sectddthdd5001已知,minm140ddthh=500m时,,1tan22tan1sec,2sec2tdd140500121)minrad/(机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束作业：P111—1121(3);2；3(4)；4（2）;7(1);8(2)