第三节-隐函数求导法则

第二章导数与微分第三节隐函数的导数和由参数方程确定的函数导数上一页下一页返回学习要求掌握隐函数的求导方法，和由参数确定的函数的求导方法，能熟练的求出隐函数和参数函数确定的函数的导数。掌握高阶导数的计算方法，理解高阶导数在力学上的意义上一页下一页返回•重点难点•隐函数求导法，参数方程求导法，取对数求导法上一页下一页返回一、隐函数的导数定义:.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求x导.上一页下一页返回例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1上一页下一页返回.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC例2解,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为显然通过原点.上一页下一页返回例3441,'(0,1).xxyyy设求在点处的值解求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy上一页下一页返回二、对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取以e为底的对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu上一页下一页返回例4解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx上一页下一页返回一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf上一页下一页返回例6求xya的导数解：两边同取对数得：lnlnyxa两边同时对x求导'lnyay'lnyyalnxaa上一页下一页返回例7求函数1234xxyxx的导数。解：两边同取对数，得：1lnln1ln2ln3ln42yxxxx两边同时对x求导得'1111121234yyxxxx上一页下一页返回1111'21234yyxxxx12111112341234xxxxxxxx上一页下一页返回三、由参数方程确定的函数的导数由参数方程xtyt所确定的函数yfx的导数dydx为：''dytdydydtdtdxdxdtdxtdt上一页下一页返回例8解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax上一页下一页返回.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即上一页下一页返回小结隐函数求导法则:方程两边对x求导;对数求导法:等式两边取以e为底对数,按隐函数的求导法等式两边同对x求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;上一页下一页返回一、填空题：1、由参数方程cossinxtytt所确定的函数yyx的导数为，该曲线2t处的切线斜率为，切线方程为，法线斜率为，法线方程，练习题''ttdyydxxsincossintttt102yx02xy102yx02xy上一页下一页返回二、解答题1、求由方程22sin2ln0xyxy所确定的方程yyx的导数dydx。解：方程两边同时对x求导，得2''yxcos2'x21'y02xy2x2y2222'2cos20yxyxyxy'y222'22cos2yxyxyxy22222cos2'2xyxyyxyy322222cos22xyyxyxy上一页下一页返回2、求函数231211xxxyxe的导数。解：两边同取以e为底的对数13lnln1ln21ln122yxxxx两边同对x求导11231222122yxxx'y'1221222122yxyxxx231211221'2221221xxxxyxxxxe上一页下一页返回作业P69习题2-312）P69习题2-321）P69习题2-332）P70习题2-353）