3-隐函数和参数方程的求导法

nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1()1(nnnxnx常用高阶导数公式§3隐函数和参数方程求导法隐函数求导参数方程求导导数的简单应用一.隐函数求导定义:.)(0),(为隐函数称所确定的函数由方程xyyyxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导..)0(sin)(sin.3),()0(.20sin:.1cos000222的导数求的切线方程；导数，并求它在所确定的隐函数求；xxyyxMRRyxyxyequationKeplerx例注意：1.();2.yyx两端求导时，始终求导是充分简化表达式。Oct.24Mon.Review导数四则运算).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函数的导数等于直接函数导数的倒数.反函数求导复合函数求导xuxuff).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设或高阶导数)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好求，可以化为隐含输求导，常用的方法是两边取对数，再求导。隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf例4解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设的导数。所确定的隐函数求由方程的导数；数，求由方程确定的隐函；，求)(1.7.6)0(.522arctan3xyyyxeyyxyaaxxyxyxy二.参数函数求导法则.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytxdxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即由复合函数及反函数的求导法则得；，求；，求；，求已知椭圆参数方程；，求dxdyytytxxtdxdyteyttxdxdytbytaxdxdytytxty)cos()sin(.40sin123.3sincos.2)1ln(arcsin.1022例。，求设；，求；求，可导，且，其中222203.7)()(.60)0()1()(.5dxydyexedxydtytxdxdyffefytfxyxtt例例7解.)2(;)1(,21sin,cos,,,002000的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力ttgttvytvxvxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在tt)cos()21sin(020tvgttvdxdycossin00vgtv.cossin0000vgtvdxdytt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxvcos0v00)21sin(20ttttygttvdtdyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv三.导数的简单应用1.切线与法线问题的面积等于常数；两坐标轴围成的三角形上任一点处的切线与证明：双曲线与法线方程；处的切线方成在求曲线1.242sin.1xyxa例极坐标方程参数方程恒为常数；切线长交点至切点的距离轴的上任一点处的切线与证明曲线)()0,0(sin)cos2tan(ln.3xtatayttax例2.相对变化率问题.,,,)()(变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的之间也存在一定关系与从而它们的变化率之间存在某种关系与而变量都是可导函数及设dtdydtdxyxtyytxx例.有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为12cm，深18cm，下接直径为10cm的圆柱形水桶，当漏斗水深为12cm时，水平面下降的速率为1cm/s，试求此时水桶的水平面上升的速率。Hw:p1101,2,3(1,3,4),4(1,4),5(2),6,7(2),8,10,11,12.隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.小结