2-5隐函数参数方程求导

1隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率第五节2一、隐函数的导数定义:.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.3问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对x求导(含导数的方程)y4例1..,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解：,求导方程两边对xdxdyey解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1dxdyxyxe05例2..,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解：,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.6例3..)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解：求导得方程两边对x)1(04433yyyxyx得代入1,0yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(04)(122123222yyyyyxyx得4110yxy,1,0yx代入.16110yxy7二、对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围：.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu8例4.解：]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设9例5.解：.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx10一般地)0)(()()()(xuxuxfxv])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf)()(1)()(ln)()()(1xuxuxvxuxvxfxf（对数求导法）11三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t12),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx13若上述参数方程中二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt3xyxxy)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得14例6.解：dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即15例7.解.)2(;)1(,21sin,cos,,,002000的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力ttgttvytvxvxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在tt16)cos()21sin(020tvgttvdxdycossin00vgtv.cossin0000vgtvdxdytt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxvcos0v00)21sin(20ttttygttvdtdyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv17设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求方程组两边对t求导,得故xydd)cos1)(1(ytttxddt2ytcos1222tycostydd0例8.解：txddtxddtyddtydd)1(2ttydd18例9.解：.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec419022dd,2tyttxyeetex求设解：),1(ddtetxt,0ddtyeeyt1dd0ttx,0时当t得,ddytety22ddxytey1tx12)1(tyety)1(tye22ddxyt0t011tx10,0yx练习：1dd0tty)1(ddteexytyttey120若曲线由极坐标方程)(rr给出,利用可化为极角参数方程,因此曲线ysin)(rcos)(rcos)(rddyddx)(rr切线的斜率为oAMr,cos)(rxsin)(rysin)(r21例10..42sin处的法线方程在求曲线ar解：将曲线的极坐标方程转换成cos)(rxcos2sinasin)(rysin2sina)(为参数则曲线的切线斜率为xyddcos2sinsin2cos2aa1所以法线斜率为又切点为44,224axay224sin2sincos2cos2aa故法线方程为axay2222即0yx,1参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.22四、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率23例11.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对t求导2sectddthdd5001已知,minm140ddthh=500m时,,1tan22tan1sec,2sec2tdd140500121)minrad/(24思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:tanx500对t求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500x求25试求当容器内水Rhxhr例12.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的hR231)(231xhrxrh])([33322xhhhR两边对t求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRhhxhRr故)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为V,则26水面例13.桥面高出水面的速度通过一座桥某人以,2sm解：桥面20mxy秒钟后设经t222220)()()(tytxtz(1),mx人行走距离为在此人的正下方有一条小船以,20msm34的速度在与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的速度.z,mz船与人的距离为对t求导tyytxxtzzdd2dd2dd2(2),2ddtx,10x,3702032010222z(3),5时当t,320y).(2126dd5smtzt,my船航行距离.34ddty27内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式28思考题1．设)()(tytx，由)()(ttyx)0)((t可知)()(ttyx，对吗？不对．xxydxdydxdtdtydx)(1)()(tttt29求其反函数的导数.解:方法1xe1y1方法2等式两边同时对求导yyxddyxdd2.设303.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0yxyyey再求导,得2yeyyxey)(02y②当0x时,,1y故由①得ey1)0(再代入②得21)0(ey求①