直角坐标系下二重积分的计算

§2直角坐标系下二重积分的计算一、在矩形区域上二重积分的计算二、在x型或y型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算二重积分的计算方法二重积分的计算可以按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算的二重积分很少，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和积分区域却不可行。本节介绍计算二重积分的方法——把二重积分化为二次单积分（定积分）来计算。一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为当函数在区域D上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。根据二重积分的几何意义：二重积分是以为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积的方法。(,)fxy(,)zfxyxoabxdxx.()baVAxdxbaxyox已知平行截面面积的立体的体积xyobxa()Axxbad][曲顶柱体的底为(,)cydDxyaxb任取0[,],abx平面0xx故曲顶柱体体积为DyxfVd),(00()(,)ddcxAyxfy截面积为(,)ddcfyxyd()baxAx截柱体的设曲顶柱体的顶为(,)0zfxyzxyoab0xDdc在矩形区域上二重积分的计算(,)fxy[,][,]Dabcd定理1.1设在矩形区域[,],xab(,)ddcfxyy上可积,且对每个积分存在,则累次积分d(,)d(,)ddbdbdacacxfxyyfxyyx也存在,且(,)dd(,)d.(1)bdacDfxyxfxyy()(,)d,dcFxfxyy()Fx证令定理要求证明在[,]ab上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,[,]ab[,]cd对区间与分别作分割01,raxxxb01.scyyyd按这些分点作两组直线(1,2,,1),ixxir(1,2,,1),kyyks214图Oyxcdab1ixixiky1kyik把矩形D分为rs个小矩形(图21-4).记ik为小矩11[,][,](1,iikkxxyyi2,,;1,2,,).rks形(,)fxyikikM设在上的上确界和下确界分别为和ikm1[,]iixx,i.在区间中任取一点于是就有不等式1(,)d,kkyikkiikkymyfyyMy其中1.kkkyyy因此11()(,)d,ssdikkiiikkckkmyFfyyMy11111(),(2)rsrrsikkiiiikkiikiikmyxFxMyx1.iiixxxikikd其中记的对角线长度为,于是,||||max.ikikTd由于二重积分存在,当||||0T时,使,ikkiikmyx,ikkiikMyx和有相同的极限,且极限(,)d.Dfxy||||0T值等于因此当时,由不等式(2)可得:||||01lim()(,)d.riiTiDFxfxy(3)||||0T1max0,iirx由于当时,必有因此由定积分定义,(3)式左边||||01lim()()dd(,)d.rbbdiiaacTiFxFxxxfxyy(,)fxy[,][,]Dabcd定理2.2设在矩形区域[,],ycd(,)dbafxyx上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且(,)dd(,)d.dbcaDfxyyfxyx定理2.2的证明与定理2.1相仿.(,)fxy[,][,]Dabcd特别当在矩形区域上连续时,则有dc(,)dd(,)dd(,)d.bdbacaDfxyxfxyyyfxyxd(,)d(,)dddbdbcacayfxyxfxyyx2()d,Dxy[0,1][0,1].D例1计算其中解应用定理21.8(或定理21.9),有11200(,)dd()dDfxyxxyy3310(1)7d.336xxx(a)x型区域Oxab2()yyx1()yyxDy对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集12{(,)|()(),}(4)Dxyyxyyxaxb为x型区域(图(a))在x型或y型区域上二重积分的计算这区域的特点是:当D为x型区域时,垂直于x轴的直线00()xxaxb至多与区域D的边界交于两点;当D为y型区域时,直线00()yycyd至多与D的边界交于两点.12{(,)|()(),}(5)Dxyxyxxycyd为y型区域(图(b)).称平面点集Oxcd(b)y型区域Dyxbad][曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取0[,],abx平面0xx故曲顶柱体体积为DyxfVd),(0021()()00()(,)dxxAfxyyx截面积为21()()(,)dxxxfyyd()baxAx截柱体的zxyoab0xD设曲顶柱体的顶为(,)0zfxyX型区域定理2.3若(,)fxy在如(4)式所示的x型区域D12(),()yxyx[,]ab上连续,其中在上连续,则21()()(,)dd(,)d.byxayxDfxyxfxyy即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.1()yx2()yx[,]ab证由于与在闭区间上连续,故存在矩形区域[,][,]abcdD(如图).现作一定义在[,][,]abcd上的函数(,),(,),(,)0,(,).fxyxyDFxyxyDOxcdab2()yyx1()yyxDy(,)Fxy[,][,]abcd容易知道函数在上可积,而且[,][,](,)d(,)dd(,)dbdacDabcdfxyFxyxFxyy2211()()()()d(,)dd(,)d.byxbyxayxayxxFxyyxfxyy类似可证,若D为(5)式所示的y型区域,其中1(),xy2()xy[,]cd在上连续,则二重积分可化为先对x、后对y的累次积分21()()(,)dd(,)d.dxycxyDfxyyfxyx0,x例2设D是由直线1yyx及围成的区域(图21-6),试计算:22edyDIx的值.yxyx216图1DO解若用先对y、后对x的积分,则有21120ded.yxIxxy由于2ey的原函数无法求得,因此改用另一种顺序的累次积分来计算:2211230001deded3yyyIyxxyy2110111ee.663ey2221112200011dee2ed66yyyyyyy:解D为y--型区域:Dxy221yxyo),(11),(242xy2yx12,的图形先画区域DdxyD2122yyxydxdydyyxyy2122221dyyyy2152221])([8452y,dxyD计算例5，是由抛物线其中区域2yxD.所围成的区域直线2xy例3例4计算二重积分d,D其中D为由直线2,yx2xy3xy及所围的三角形区域(图21-7).解当把D看作x型区域时,相应的122,01,(),()23,12.xxxyxyxxx217图Ox122yx231D2Dy3xy2xy所以1212230122dddddddxxxxDDDxyxy12012d3d22xxxxxx1222013333.442xxx解设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为222222.xyaxza与利用对称性,只要求出在第一卦限(即0,0,xy0z)部分(见第十章图10-9)的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱所以它的体积为220,0.yaxxaD:22,zax底为四分之一圆域体,曲顶为例5求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.221d8DVax22302()d.3aaxxa于是316.3Va222200ddaaxxaxy三、在一般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共内点的x型区域或y型区域.如图21-8所示,D被分218图OxIIIIIIyD为x型区域,为y型区域.II解成三个区域,其中、IIII22(,)24,(,)DxyxxyxfxyD例6设为上的连续函数,试将二重积分(,)ddDIfxyxy化为不同顺序的累次积分.yx解(1)先对积分,再对积分.221(,)24,02,Dxyxxyxxx123DDDD(见图21-9),其中为此设Ox219图2D3D1Dy24222(,)42,02,Dxyxxyxxx223(,)44,24.Dxyxxyxxx所以有222224220204d(,)dd(,)dxxxxxxxxIxfxyyxfxyy224424d(,)d.xxxxxfxyyxy(2)先对积分,再对积分.类似地有:1234,DGGGG(见图21-10)2110图Ox2G3G1G4Gy122122224124d(,)dyyIyfxyx22124111d(,)dyyyfxyx22124224d(,)dyyyfxyx22111124d(,)dyyyfxyx例7计算1dd,4Dxyxy其中[0,1][0,1].D解记(见图21-11)11(,)0,4DxyxyD21(,)0.4DxyxyD2111图Ox11D2D14xy1y则又有111(,)1,1,44Dxyyxx2111[0,][0,1](,)0,1.444Dxyyxx12111dd()dd()dd444DDDxyxyxyxyxyxy1114141dd4xxxyy3131ln2ln26416641631ln2.32811411d2432xxx1401d42xx1141d32xx1411140014011dddd44xxxyyxxyy解积分区域由两个y--型区域构成:2D:1D转化积分区域为Y--型区域2211yxy01y积分区域为X--型区域:D11x2211xyx11yxy1110y221111xxdyyxfdx),(221101yydxyxfdy),(yydxyxfdy1110),(2D1Dxyo11.),(的积分顺序交换积分例2211117xxdyyxfdx例8解由原积分知，积分区域为两个Y--型区域和xxdyyxfdxI2211),(故转化积分区域为X--型区域ydxyxfdyI212141),(121xxyx2xyxoy21411212xy12141y