8.2直角坐标系下计算二重积分

8.2直角坐标系下计算二重积分的计算1．在矩形区域上的二重积分二重积分化为两次定积分来计算①(,)Dfxyd(,)Dfxydxdy二重积分存在则与分法无关。在直角坐标系中，采用平行于ox轴和oy轴的分割网，=dxdy②(,)Dfxydxdy几何意义：二重积分等于立体体积()baAxdx用横截面来计算立体体积﹡﹡应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积oxxabA(x)V③以底面为一矩形[a,b;c,d]的立体为例，求其体积（应用上列公式）如图所示，若能求出截面面积，则立体体积问题就归结为运用上述公式。oax0bxABCDA(x0)cdABCDyz设以平面x=x0[垂直于x轴、平行于yoz平面的平面]截立体，得一曲边梯形截口ABCD。要求截口的面积A(x0)我们将截口ABCD投影到yoz坐标平面上，得到与之完全相同的曲边梯形ABCD，从而A(x0)=SABCD=SABCD然而曲边梯形ABCD的曲边DC的方程为z=f(x0,y)(c≤y≤d)由于定积分几何意义，因而A(x0)=SABCD=考虑到x0的任意性，对于x∈[a，b]均有A(x)=0(,)dcfxydy(,)dcfxydy代入上列②中立体体积公式，得到最后，有由此说明，以底面是一矩形的立体体积的计算为例，可导出结论：直角坐标系中，二重积分的计算可化为两个一重积分（二次积分）来计算。()(,)(,)bbdbdaacacVAxdxfxydydxdxfxydy(,)(,)bdacDfxydxdydxfxydy例1求解：():01,12DxydDxy1201()()Dxyddxxydy211201012322dxxyyxdx如果积分区域为：)}()(,|),{(21xyxbxayx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba二X型区域上的二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得例2计算积分D：⑴由y=x，y=5x，x=1所围成区域；⑵由y=x2和y2=x所围成区域Dxyd解⑴：①绘出区域D的图形：②确定积分限：x:[0,1]y:[x,5x]③计算积分：150xxDxydxdxydyo1xyy=xy=5x11223001[(5)]1232xdxxxxdx解⑵：①绘出区域D的图形：②求出两曲线的交点：解方程组得实数解故交点为（0，0）、（1，1）22yxyx0101xxyyxxyxxyy=x2y2=x③确定积分限：由于x由0变到1时，y由下方曲线y=x2变到上方曲线y=，所以第一次积分的积分限为：下限x2，上限；第二次积分的积分限为：下限0，上限1x（解⑵续）④计算积分：221120012501211()212xxxxDxydxdyxdxydyxdxyxxdx.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：}),()(|),{(21dycyxyyx［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD三Y型区域上的二重积分X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.二重积分计算中的问题再讨论⑴二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计算；⑵二重积分化为两次定积分的计算方法中，最重要的是两个问题：①如何选择积分次序？②如何确定积分限⑶如何选择积分次序①正确画出区域D的图形是选择积分次序的关键，即使是最简单的区域D也要求首先画出图形。②对复杂区域分块二重积分化为两次定积分的计算方法，要求区域D必须满足条件③选择积分次序选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简，甚至关系到该积分是否能计算出结果。如与（不能用初等函数表示！）32211sinxdxydy21201sinydyydx2sinydy13o2xyy=x-1D⑷如何确定积分限①二重积分化成的二次积分，其上限一定不能小于下限。②第一次积分的积分限，是由第二次积分的积分变元所表示的函数；第二次积分的积分限为常数。先对y积分（积分变元是y）：下限为y=1(x)（D的下方曲线）；上限为y=2(x)（D的上方曲线）后对x积分（积分变元是x）：下限为D在x轴上投影的左端点的横坐标a；上限为D在x轴上投影的右端点的横坐标b。先对x积分（积分变元是x）：下限为x=1(y)（D的左方曲线）；上限为x=2(y)（D的右方曲线）后对y积分（积分变元是y）：下限为D在y轴上投影的下端点的横坐标c；上限为D在x轴上投影的上端点的横坐标doxcdyDx=1(y)x=2(y)oxybay=2(x)y=1(x)D例3将按两种顺序化为两次积分解：①先y后x②先x后y(,)DIfxyd22:8,Dyxxyy2=8xx2=yxy2408(,)yyIdyfxydx2280(,)xxIdxfxydy例4求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61exy1例5改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图四改变积分次序xy222xxy例6改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图例7计算21120yxdxxedydyey2无法用初等函数表示解积分时必须改变次序21120yxdxxedyyydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）五、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］(,)(,).bdacDfxyddxfxydy［矩形］