21-2直角坐标系下二重积分的计算

第2节一、矩形区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第21章数学分析2目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束一、矩形区域上二重积分的计算在),(yxf设函数],[],[dcbaDDyxfd),(yyxfdcd),(baxd定理1.也存在,且上可积,且对每个yyxfbaxdcd),(],,[积分存在,yyxfdcd),(baxd证:直线网T:;)1,,2,1(10bxxxarixxri且.)1,,2,1(10dyyycskyykk且先用平行于坐标轴的则累次积分数学分析3目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束ikxyo1ixixi1kyky),,2,1;,,2,1(skri分割D成rs个小矩形:令,d),()(yyxfxFdc下面证)(xF在],[ba可积,且积分值为二重积分.],[],[11kkiiikyyxx因为在),(yxfD上可积,故必有界.定积分估计式得kikyyikikyMyyfymkkd),(1由确界原理及其中,yyykkk1,,),(,下确界的上在为ikikikyxfmM.][1iii,xxξ数学分析4目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束由积分区间的可加性kikskdciikikskyMyyfFym11d),()(ikikskriiiriikikskrixyMxFxym11111)(其中.max,,1iikikkiiidTxxx的对角线长度记由于二重积分存在,故ikikkiTikikkiTxyMxym,0,0limlimDyxfd),(数学分析5目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束iiriTxF)(lim10Dyxfd),(由于当,0max,01irixT必有时因此由定积分定义,上式左边亦可写为xxFxFbaiiriTd)()(lim10yyxfdcd),(baxd即Dyxfd),(.d),(yyxfdcbaxd由迫敛性,得数学分析6目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束类似可证下面结论:在),(yxf设函数],[],[dcbaDDyxfd),(定理2.也存在,且上可积,且对每个xyxfdcybad),(],,[积分存在,则累次积分xyxfbad),(dcydxyxfbad),(dcyd特别当在),(yxf函数],[],[dcbaD上连续时,则Dyxfd),(xyxfbad),(dcydyyxfdcd),(baxd数学分析7目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1.计算,d)(2DyxI其中解法1.利用定理1,则].1,0[]1,0[DI10dx102d)(yyx10331331d)1(xxx67解法2.利用定理2,则I10dy102d)(xyx10331331d)1(yyy67xyoD11数学分析8目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束二、一般区域上二重积分的计算bxaxyyxyD)()(:211.D为X–型区域平面区域D的两种简单类型:xyoab)(1xyy)(2xyyxyoab)(1xyy)(2xyyDD数学分析9目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束D为Y–型区域dycyxxyxD)()(:212.xyocdxyocd)(1yxx)(2yxxDD)(1yxx)(2yxx数学分析10目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定理3.Dyxyxfdd),(yyxfxyxyd),()()(21baxd),(yxf设函数在X–型区域D上连续,其中],[)(,)(21baxyxy在上连续,则先y后xDyxyxfdd),(xyxfyxyxd),()()(21dcyd),(yxf设函数在Y–型区域D上连续,其中],[)(,)(21dcyxyx在上连续,则先x后y数学分析11目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束证：上连续，在由于],[)(,)(21baxyxy,],[],[Ddcba故总存在矩形区域上的函数现做一定义在],[],[dcbaDyxDyxyxfyxF),(,0),(),,(),(上可积，且在],[],[),(dcbayxFDyxfd),(],[],[d),(dcbayxFyyxFdcd),(baxdyyxFxyxyd),()()(21baxdyyxfxyxyd),()()(21baxdxyoab)(1xyy)(2xyyD数学分析12目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束oxy说明:Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyyxoyDba)(1yxx)(2yxxdc则有x)(1xyyyyyxfxyxyd),()()(21baxdxyxfyxyxd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域(如图),321DDDD则(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,数学分析13目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束xy211xyo221dy例2.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y数学分析14目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则,dDyxI数学分析15目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022数学分析16目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例5.将二重积分DyxyxfIdd),(其中D如下图所示.化为累次积分，xyoxyD1oxyDxy2xy1122yx21220d),(dyyxyxfyIxxyyxfxI121d),(d(1)(2)数学分析17目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例6.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则x20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyy228y数学分析18目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例7.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此先对y积分：xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.数学分析19目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解：121d)(xeexx.2183eexxxyyexI221dd1例8.oyxxy211yxyxeyI212141ddyyxyxeydd121计算积分不能初等函数表示，xexyd改变积分次序：2xy数学分析20目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例9计算DyyxexIdd22其中D是由直线0,1,xyxy所围成.解：100:yyxD1002dd2yyxxyeI1003d|312yxeyy103d312yyey1022d61yey]21[611eDoxy1xy数学分析21目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例10.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224oyx数学分析22目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束内容小结(1)直角坐标系下二重积分化为累次积分的方法:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaD数学分析23目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)利用对称性应用换元公式（两边夹，一线穿）数学分析24目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束作业P2221(2),(4);2(2),(4);3;5.数学分析25目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求.d)()(d110yyfxfxIx提示:交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy1yxIxyfxfyd)()(010dy10dxI2yyfxfxxd)()(d11010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A数学分析26目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页