高数-第一节--常数项级数的概念和性质

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第九章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理机动目录上页下页返回结束第一节第九章一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts知g2st则小球运动的时间为1tT22t32tg212122)2(1212g1263.2(s)设tk表示第k次小球落地的时间,机动目录上页下页返回结束定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为数项无穷级数，简称数项级数或级数其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作机动目录上页下页返回结束当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动目录上页下页返回结束例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln机动目录上页下页返回结束(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束例3.判别级数的敛散性.解:nnnln2)1ln()1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束例4.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若qqaan1从而qannS1lim因此级数收敛,;1qa从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束2).若因此级数发散;因此nSn为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则级数成为,a,0不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束特别地,当时,有例5.证明调和级数发散.证:假若级数矛盾机动目录上页下页返回结束收敛且其和为ssn是它的部分和显然有但另一方面故必定发散这矛盾说明级数p级数11(0)pnpn当p1时收敛当0p1时发散例6.判别下列级数的敛散性:解:(1)1211nunn11nn所以级数发散;11112npn是的p级数机动目录上页下页返回结束解:(2)43311nunnn311nnn所以级数收敛.311413npnn是的p级数机动目录上页下页返回结束二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.机动目录上页下页返回结束性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu)(nS这说明级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S机动目录上页下页返回结束说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数1nnu的前k项去掉,的部分和为nllknu1knkSS数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,S推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动目录上页下页返回结束例7.判断下列级数的敛散性:解:(1)级数的通项从而原级数收敛.机动目录上页下页返回结束所以该级数为公比的几何级数,34q(2)级数的通项从而原级数收敛.而级数都是收敛的几何级数,0042(),()99nnnn解:(3)级数的通项从而原级数收敛.而级数是p=1.5的p级数,收敛,3121nn(4)级数由性质3,得原级数发散.是调和级数删去三项而得,111,,123机动目录上页下页返回结束例7’.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则nn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21机动目录上页下页返回结束例8.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令;231)2(123nnnn则nnuu1),2,1(1n故从而这说明级数(1)发散.11)1(!)1(nnnnennnne!机动目录上页下页返回结束123231)2(nnnn因nnn23123),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)机动目录上页下页返回结束1212)3(nnnnnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121nnn21225232132这说明原级数收敛,其和为3.,3limnnS故(3)机动目录上页下页返回结束的充要条件是:*四、柯西审敛原理定理.,0,ZN时，当Nn,Zp对任意有证:设所给级数部分和数列为),,2,1(nSn因为所以,利用数列),2,1(nSn的柯西审敛原理即得本定理的结论.机动目录上页下页返回结束例9.解:,Zp对任意有利用柯西审敛原理判别级数机动目录上页下页返回结束当n﹥N时,,Zp对任意都有由柯西审敛原理可知,级数第二节目录上页下页返回结束作业P783(1),(3)；4(2),(4),(6),(8),(10)