《高等数学B》第十一章-无穷级数--第1节--常数项级数的概念和性质

一般项第一节常数项级数的概念和性质1.级数的定义:nuuuu321(常数项)无穷级数部分和数列niinnuuuus121级数的部分和,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus1nnu2.级数的收敛与发散:当n无限增大时,如果级数的部分和数列有极限s,即则称无穷级数收敛,这时极限s叫做级数的和.并写成1nnuns,limssnn1nnu1nnu321uuus如果没有极限,则称无穷级数发散.ns1nnu余项nnssr21nnuu1iinu即常数项级数收敛(发散)存在(不存在)nnslim即误差为)0lim(nnr,ssnnr时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.nnnaqaqaqaaq20)0(a解,1时当q0limnnqqasnn1lim收敛,1时当qnnqlimnnslim发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa级数变为不存在nnslim发散综上可得:发散时当收敛时当,1,10qqaqnnnnnu1232,3441n已知级数为等比级数,,34q公比,1||q.原级数发散例2判别无穷级数的收敛性.11232nnn解解)12)(12(1nnun,)121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn例3判别无穷级数的收敛性.)12()12(1531311nn)1211(21limlimnsnnn,)1211(21n,21.21,和为级数收敛解173.27531017101710173.203100110173.2nn等比级数1001q公比10011110173.23.4951147例4试把循环小数表示成分数的形式.3171717.2173.2结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.3.无穷级数的基本性质性质1如果级数收敛,则亦收敛.1nnu1nnku性质2设两收敛级数则级数收敛,其和为,,11nnnnvus1)(nnnvu.s解121)1(5nnnn1)1(5nnn121nn111115)1(5nnnnnnnknkkg11115令,)111(5n例5求级数的和.121)1(5nnnn,5)111(lim5limngnnn,211是等比级数nn,121q公比121nn.61521)1(51nnnn故,121121证明nkkkknnuuuu211nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质3若级数收敛,则也收敛.且其逆亦真.1nnu1knnu)1(k证明)()(54321uuuuu,21s.limlimssnnmm则,52s,,nms性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111但是收敛发散推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散..0limnnu证明1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun级数收敛的必要条件是:4.收敛的必要条件级数收敛注意:1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数讨论nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)(lim2nnnss于是ss,0.级数发散)(210n便有.这是不可能的)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.级数发散由性质4推论,调和级数发散.另证