高等数学-第八章-数列与无穷级数-8-1常数项级数的基本概念和性质

无穷级数第一节常数项级数的基本概念与性质第二节正项级数及其审敛法第三节任意项级数及其审敛法第四节幂级数第五节函数展开成幂级数第一节常数项级数的基本概念和性质二、收敛级数的性质一、常数项级数的概念第八章引例1一、常数项级数的概念.31化为小数数且,3.033.0311033.0210310303.03.033.032103103103003.003.03.0333.0无限循环小数概念之中无穷级数的思想蕴涵在1.引例表示成无穷多项之和将31求极限nn103103103333.02个一般地，33.031于是n1031031032相当于求引例2,)1()1(lim2aaaann.12naaa无穷多项的和级数的和2.定义给定数列,,,,,321nuuuu无穷级数:nu一般项：部分和：无穷级数收敛：记作收敛级数的余项：无穷级数发散：例1(几何级数)1)若qqan11）（知qaSnn1lim故级数收敛,;1qa知,limnnS则部分和故级数发散.其和为证明等比级数当时收敛,1q当时发散.1q证2)若级数发散;nSn为奇数n为偶数结论：1q时收敛,1q时发散.则级数为,a,0不存在,等比级数0nnqa等比级数因此级数发散.拆项相消解12lnnS)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数发散.23ln34lnnn1ln例2判别级数的敛散性.部分和)2ln3(lnnnln)1ln(二、收敛级数的性质性质1若1nnuS收敛,证令,1nkknuS则nkknucσ1,nScnnσlimSc1nnuc收敛,其和为cS.推论1其和为cS.收敛，则故敛散性相同.nncSσ,0c若11nnnncuu与则证毕.性质2设收敛级数,1nnuS1nnvσ，则)(1nnnvu也收敛,其和为.σS注)(21nnnvu的敛散性规律：收收为收，收发为发，发发不一定发.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv1º收敛级数可逐项相加（减）.与1nnu1nnv均发散，.)(1收敛但nnnvu性质3级数前面加上不影响级数的敛散性.证1nnu去掉前k项,的部分nllknuσ1knkSS数敛散性相同.收敛时,其和.kSSσ故新旧级新级数同敛散，有限项不影响级数的敛散性（去掉、或修改）有限项,证毕.和为性质4收敛级数加括弧后原级数的和.所成的级数仍收敛于推论2若加括弧后的级数发散,)11()11(但例如，则原级数必发散.用反证法注加括号后的级数收敛？去掉括号后的级数收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0收敛发散例4判断级数的敛散性31212121112nn121解加括号级数为)3121()2121()11(2)121(nn1)(nnnvu1nnu由于收敛，121nn1nnv而发散，11nn故加括号级数发散,从而原级数发散.例5判断nnn13121111的敛散性.加括号级数)16191(1nnv)211()4131()8151(解)21211(1nn,212111v,21414141312v,21161161161914v121211nnnv823项…112121nn2项n212121nn)21211(1nn1nnv)211()4131()8151(nnSlim)(,221211nnvvSnn发散，从而加括号级数1nnv.11发散故nn性质5（级数收敛的必要条件）设收敛，则证1nnnSSunnulim故,0SS1limlimnnnnSS注0limnnu非级数收敛的充分条件.例如,调和级数发散，证毕.故所给级数发散.,0nu则级数必发散.推论3若例6(1)11nnn,011limlimnnnnnu解(1)故原级数发散.小结:收敛0nu发散例7判断敛散性,若收敛求其和:解令则nnuu1),2,1(1n故级数发散.11)1(!)1(nnnnennnne!)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数收敛,其和为1.31214131111nn利用“拆项相消”求和解备用题例2-1例2-2判断敛散性,若收敛求其和:解.231123nnnnnnn23123),2,1(n)2)(1(1nnnnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121拆项相消,41原级数收敛,其和为)2)(1(121121nn.41例3-1判别级数的敛散性.解nnnln2)1ln()1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛,其和为例4-1判断级数的敛散性解加括号级数发散,故原级数发散.一般项nnnSSS2121则1432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121nnn21225232132原级数收敛,其和为3.,3limnnS故23例8判断级数的敛散性：解