全等三角形基本模型一、旋转型(手拉手型)

全等三角形基本模型一、旋转型（手拉手型）1．如图，在△ABC中，AB＝m，AC＝n，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AE，则AE的最大值为．DCEBA【解答】将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△FBC，连接AF，FABECD则AE＝FC，△ABF是等腰直角三角形，∴AE＝FC≤AF＋AC＝2m＋n.2．如图，△ABC是直角三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为．DCBA【解答】作DE⊥CD交BC于点E，EABCD可证△ACD≌△BED（ASA），∴BE＝AC＝6，∴CE＝2，△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝22CE＝2.3．如图，正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，O是正方形内一点，∠BEC＝90°，作DF⊥EC于F，连接OE、OF，求证：△OEF是等腰直角三角形．FOEDCBA【解答】连接OC，ABCDEOF∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°∵∠BEC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF，可证△BCE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，若△ABD的面积为9，则AD的长为．DCBA【解答】延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，EHABCD则△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE延长AD交BE于H，∵∠ADC＝∠BDH，∴∠BHD＝∠ACD＝90°∴△ABH≌△AEH（ASA），∴BH＝EH＝12BE＝AD∴S△ABD＝12AD·BH＝12AD·12AD＝14AD2＝9，∴AD＝65．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别在线段AD、AC上，∠BEF＝120°（1）求证：BE＝EF；（2）猜想线段AB、AE、AF三者之间的数量关系，说明理由．FEDCBA【解答】（1）延长AB至G，使BG＝AF，连接EG、EC，GHABCDEF∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝CD∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠ECF在四边形ABEF中，∵∠BAF＝60°，∠BEF＝120°∴∠ABE＋∠EFC，∴CE＝EF，∴BE＝EF（2）猜想：AB＋AF＝3AE，作EH⊥AB于H∵∠ABE＋∠AFE＝180°，∠ABE＋∠GBE＝180°，∴∠AFE＝∠GBE又∵BG＝AF，BE＝EF，∴△AEF≌△GEB，∴AE＝EG，∴AH＝GH＝32AE∴AG＝AH＝3AE，∴AB＋BG＝3AE，∴AB＋AF＝3AE6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC外一点，∠ADC＝45°，若CD＝6，则△BCD的面积为．DCBA【解答】过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E，连接BE，ABCDE∵∠ADC＝45°，∴∠AEC＝45°，∴AD＝AE，∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝6，∠AEB＝∠ADC＝45°∴∠BED＝90°，∴S△BCD＝12CD·BE＝12×6×6＝187．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接BE并延长交AD于F，连接CF．（1）求证：BF⊥AD；（2）求∠CFD的度数．DEFCBA【解答】∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°∴AC＝BC，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE∵∠AEF＝∠BEC，∴∠AFE＝∠ACB＝90°，∴BF＝AD（2）过点C作CG⊥CF交BF于G，GABCFED∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠BCG又∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBG，∴△ACF≌△BCG，∴CF＝CG∴∠CFG＝∠CGF＝45°，∵BF⊥AD，∴∠CFD＝45°8．如图，在等边△ABC中，D为AB的中点，E为射线BC上一点，连接DE，以DE为边向右作等边△DEF，连接FC，求证：FC＝FE．EFDCBA【解答】在BC上截取BG＝BD，连接DG、FG，GABCDFE∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°∴△BDG是等边三角形，∴DB＝DG，∠BDG＝∠BGD＝60°∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°∴∠BDE＝∠GDF，∴△BDE≌△GDF（SAS），∴∠DGF＝∠B＝60°∴∠CGF＝60°，∴△DFG≌△CFG（SAS），∴FC＝FD＝FE9．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠CDE＝∠DEB＝90°，AB＝BC，CD＝DE，若BD＝4，则五边形ABCDE的面积为．EDCBA【解答】连接EC，过点B作BF⊥BE交EC的延长线于点F，FABCDE∵∠CDE＝90°，CD＝DE，∴∠DEC＝∠DCE＝45°∵∠DEB＝90°，∴∠BEF＝45°，∴∠F＝45°，∴BE＝BF，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S五边形ABCDE＝S△BEF＋S△DEC＝12BE2＋12DE2＝12BD2＝810．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，点E为AB上一点，DE＝BD，连接CE，求证：∠DEC＝90°．CDEAB【解答】将△ADC绕点A逆时针旋转至△AFB，连接FD，FBAEDC则AF＝AD，BF＝CD，∠BAF＝∠CAD＝90°，∠ABF＝∠ACD∴∠DAF＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠AFD＝∠ADF＝∠ABD∴∠BDF＝∠BAF＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD∴∠ABF＝∠ABD，∴∠FBD＝2∠ABD，∵DE＝BD，∴∠ABD＝∠BED∴∠CDE＝2∠ABD，∴∠FBD＝∠CDE，∴△FBD≌△CDE（SAS）∴∠DEC＝∠BDF＝90°