第1章---高等代数张禾瑞

第一章基本概念1.1集合1.2映射1.3数学归纳法1.4整数的一些整除性质1.5数环和数域课外学习1:山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村----评析数学进程中的三次危机在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918）算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。--高斯（Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。--麦斯韦(JamesClarkMaxwell1831-1879)1.1集合内容分布1.1.1集合的描述性定义1.1.2集合的表示方法1.1.3集合的包含和相等1.1.4集合的运算及其性质教学目的掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点集合概念、证明集合相等1.1.1集合的描述性定义表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”.组成集合的东西叫这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；或者说A包含a，记作A∋a如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作；或者说A不包含a，记作AaaA例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，而.3A一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：Ø1.1.2集合的表示方法枚举法:例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记作.naaa,,,21naaa,,,215,4,3,2,1枚举仅用来表示有限集合.拟枚举:自然数的集合可以记作,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数….........5,4,3,2,1n概括原则:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号具有某一性质x|{xA来表示.例如表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.}11,|{xRxxA常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C1.1.3集合的包含和相等设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作（读作Ａ属于Ｂ），或记作（读作Ｂ包含Ａ）.根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集必要且只要对于每一个元素x，如果，就有.BAABAxBx例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而后者又是一切实数的集合的子集.A是B的子集，记作：):()(BxAxxBA对于一切如果A不是B的子集，就记作：或.因此，A不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，即：ABØABÙ()(:)ABxxAxB存在一个元素但Ø例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者.集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集.根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：AA如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B.我们有):()(BxAxxBA对于一切例如，设A={1，2}，B是二次方程的根的集合，则A=B.0232xx)()(CAcBBA且)()(BAABBA且1.1.4集合的运算及其性质并运算设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作.如图1所示.BABAAB例如，A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，则}4,3,2,1{BA又例如，A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，则是一切实数的集合.显然，BA)(BAA或)(BAA根据定义，我们有)()(BxAxBAx或)()(BxAxBAx且交运算由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作：，如图2所示.BABA显然，ABABBA，例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则}4,3,2{BA我们有)()(BxAxBAx且)()(BxAxBAx或两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集.例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，那么就是空集.又如方程的实数根的集合为空集.BA012x空集是任意集合的子集.运算性质:交换律:ABBAABBA;结合律:)()(CBACBA)()(CBACBA;分配律:CABACBACABACBA我们选取一个来证明.例1证明CABACBA证明设，那么且，于是且至少属于B与C中的之一.若，那么因为，所以，；同样，若，则.不论哪一种情形都有.所以CBAxAxCBxAxBxAxBAxCxCAx)()(CABAxCABACBA反之，若，那么或者.但，，所以不论哪一种情形都有，所以这就证明了上述等式.)()(CABAxBAxCAxCBBCBCCBAxCBACABA两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设是给定的集合.由的一切元素所成的集合叫做的并；由的一切公共元素所成的集合叫做的交.的并和交分别记为：和.我们有nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA21nAAA21),,2,1,()(21niAxAAAxi至少属于某一),,2,1,()(21niAxAAAxi属于每一差运算：设A，B是两个集合，令}|{BxAxxBA但也就是说，是由一切属于A但不属于B的元素所组成的，称为A与B的差.BA注意：并没有要求B是A的子集.例如，ØCQ积运算：设设A，B是两个集合，令称为A与B的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.},|),{(BbAabaBABA1．2映射一、内容分布1.2.1映射的概念及例1.2.2映射的相等及像1.2.3映射的合成1.2.4单射、满射、双射二、教学目的掌握映射的概念,映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。三、重点、难点映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1映射的概念及例定义1设A，B是两个非空的集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素x，有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应.用字母f，g，…表示映射.用记号表示f是A到B的一个映射.BAf:如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作yxf:这时y叫做x在f之下的象，记作.)(xf例1令Z是一切整数的集合.对于每一整数n，令与它对应.那f是Z到Z的一个映射，nnf2)(例2令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合对于每一，令与它对应；那么f是R到B的一个映射.Rx2)(xxf2:xxf，，)(xf例3设这是A到B的一个映射.}4,3,2,1{BA14,43,32,21:f例4设A是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集合.对于每一，令与它对应.f不是A到B的映射，因为当时，不能由x唯一确定.Axxxf)(0x)(xf例5令A=B等于一切正整数的集合.不是A到B的一个映射，因为.1:nnfBf011)1(例6设A是任意一个集合，对于每一，令与它对应：Axxxf)(xxf:这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等映射.注意:①A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合②对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应.③一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象.④A中不相同的元素的象可能相同.1.2.2映射的相等及像BAf:设是一个映射.对于，x的象.一切这样的象作成B的一个子集，用表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.BAf:AxBxf)()(Af}|)({)(Axxfaf例7令，.那么.||,:xxRRf2,:xxRRggf设，都是A到B的映射，如果对于每一，都有，那么就说映射f与g是相等的.记作BAf:BAg:gfgf1.2.3映射的合成设是A到B的一个映射，是B到C的一个映射.那么对于每一个，，因而是C中的一个元素.因此，对于每一，就有C中唯一的确定的元素与它对应，这样就得到A到C的一个映射，这映射是由和所决定的，称为f与g的合成（乘积），记作.于是有BAf:CBg:))((xfgAx))((xfgBAf:CBg:fg))(())((;:xfgxfgCAfgAx对于一切,f与g的合成可以用下面的图示意：fgfgABC例8设2;:xxRRfxxRRfsin;:xxRRfsin;:2sin;:xxRRfg那么例9设A={1，2，3}13,32,21;:AAf23,12,31;:AAg那么33,22,11;:AAfg设给映射，，，有.但是，一般情况下，设A是非空集合，称为设A上的恒等映射。BAf:CBg:DCh:fghfgh)()(fggfAAjA:,xx设A，B是两个非空集合，用和表示A和B的恒等映射.设是A到B的一个映射.显然有：，.AjBjBAf:fjfAffjB1.2.4单射、满射、双射定义2设f是A到B的一个映射，如果，那么说称f是A到B上的一个映射，这里也称f是一个满映射，简称满射.是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x使得.BAf:yxf)(关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.BAf:BAf:定义3设是一个映射，如果对于A中任意两个元素和，只要，就有，那么就称f是A到B的一个单映射，简称单射.BAf:1x2x21xx)()(21xfxf如果既是满射，又是单射，即如果f满足下面两个条件，①BAf)(对于一切，那么就称f是A到B的一个双射.一个有限集集合的A到自身的双射叫做A的一个置换.2121)()(xxxfxf②定理1.2.1令是集合A到B的一个映射.那么以下两个条件是等价的：BAf:①f是一个双射；②存在B到A的一个映射g，使得，再者，当条件②成立时，映射g是由f唯一确定的.AjfgBjgf证如果①成立.因为f是满射，所以对于B的每一个y，有，使得Axyxf)(又因为f是单射，所以这个x是由y唯一确定的：即如果还有使得，那么.我们规定Axyxf)(xxxyg:，如果.yxf)(yxf)(则g是B到A的一个映射.设.而.我们有Axyxf)(xygxfgxfg)()(())((所以.设，而.那么.于是AjfgByyxf)(xyg)(yxgygfygf)()(())((所以.故②成立.Bjgf反过来，设②成立.先证明f是满射.设，令.由于，所以ByAxyg)(BjgfyyjygfxfB)())(()(即f是满射.再证f是单射设而Axx21,)()(21xfxf由于，所以Ajfg222111)()()()(xxjxfgxfgxjxAA这说证明了f是单射.因此，f是