最全总结之圆锥曲线易错题全解

1易错点1求曲线方程时，缺点或多点典例.已知一条曲线，曲线上的点到点A(0,2)的距离比它到X轴的距离大2，则这条曲线的方程为。错解：设曲线上的点P(x,y),P到x轴的距离为y,|PA|=22)2(yx所以22)2(yx2y化简的曲线的方程为：yx82易错分析：错解中直接认为P到x轴的距离为y，忽略了y是负数的情况，导致漏解。解析：设曲线上的点P(x,y),P到x轴的距离为|y|,|PA|=22)2(yx所以22)2(yx2||y时当0y曲线的方程为yx82当02)2(022xyyxy时，所以所求曲线方程为：yx82（0y），或)0(0yx易错点2混淆“轨迹”与“轨迹方程”典例.如图，已知点0(1)F，，直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ，求动点P的轨迹．错解：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QPQFFPFQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．错因分析：错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．解析：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QPQFFPFQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．2易错点3求轨迹方程时忽略变量的取值范围典例.已知曲线C：y＝x2－2x＋2和直线l：y＝kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.错解：依题意，由y＝x2－2x＋2，y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有12212212121xxxkyykyk，故线段AB中点的轨迹方程为220xyx.错因分析：消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许范围，故应对x，y加以限制．解析：依题意，由y＝x2－2x＋2y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有x＝x1＋x22＝11－k2，③y＝y1＋y22＝k1－k2，④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201kkkkkyykkyyk，解得22k1.结合③④，则有x2，y2.所以所求轨迹方程是x2－y2－x＝0(x2，y2)．易错点4求曲线方程时未添加或去除特殊点3典例.等腰三角形的顶点A(4,2).底边的一个端点为B（3,5），求另一个端点C的轨迹方程。试判断方程的轨迹是什么？错解：设另一个端点为C(x,y),由|AC|=|AB|得2222)52()34()2()4(yx化简后得：10)2()4(22yx所以此方程是以（4.2）为圆心，10为半径的圆错因分析：错解中忽略了A,B,C三点共线的情况。解析：设另一个端点为C(x,y),由|AC|=|AB|得2222)52()34()2()4(yx化简后得：10)2()4(22yx所以此方程是以（4.2）为圆心，10为半径的圆因为A,B,C三点不共线，所以点B,C不能重合，或者关于点A对称。当B,C重合时点C（3,5）当B,C关于点A对称时，由1,5225423yxyx综上可知C点的轨迹是以（4.2）为圆心，10为半径的圆（除去（3,5,）和（5，-1））易错点5忽略定义中的限制条件出错典例.已知21,FF为两定点，且||21FF=4,动点P满足4||||21PFPF,则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.线段错解：根据椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆。错因分析：忽略了椭圆的限制条件212FFa,从而导致出错。解析：当动点到两定点的距离之和为常数时)2)2)221212121FFaFFaFFFFa轨迹不存在（之间的线段（椭圆（典例.已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线4错解:依题意得1210FF，当3a时，1226aFF，故点P的轨迹为双曲线；当5a时，12210aFF，故点P的轨迹为一条射线．故选B．错因分析:错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．解析:依题意得1210FF，当3a时，1226aFF，且1260PFPF，点P的轨迹为双曲线的右支；当5a时，12210aFF，故点P的轨迹为一条射线．故选D．典例.已知点P到F(4，0)的距离与到直线5x的距离相等，求点P的轨迹方程．错解:由抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．因为焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离9p，所以抛物线的方程为218yx．错因分析:点P到F(4，0)的距离与到直线5x的距离相等，满足抛物线的定义，但45，故此抛物线的方程不是标准方程．解析:设点P(x，y)，则由题意，得22(4)|5|xyx，化简整理得2189yx，此即所求的轨迹方程．易错点6忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186xykk表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．错解:由8060kk，可得68k，所以实数k的取值范围为(6，8)．错因分析:忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．解析:由806086kkkk，可得68k且7k，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．易错点7忽略双曲线中的隐含条件已知M是双曲线2216436xy上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF，则52MF_____________．错解:由双曲线的定义可知，12||||216||MFMFa，因为1||17MF，所以2||1MF或33．错因分析:错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍去不满足要求的那个．解析:由双曲线方程2216436xy可得8a，6b，10c，由双曲线的图形可得点M到右焦点F2的距离2dca．因为12||||216||MFMFa，1||17MF，所以2||1MF(舍去)或2||33MF．易错点8忽略对椭圆焦点位置的讨论典例.已知椭圆的标准方程为2221(0)36xykk，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．错解1:因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故25k．错解2:因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故213k．错因分析:当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误．解析:因为2c＝8，所以c＝4，①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故25k；②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故213k．综上，25k或213．易错点96忽略双曲线的焦点所在位置的讨论典例.已知双曲线的渐近线方程是23yx，焦距为226，求双曲线的标准方程．错解:由题意知23ba，且22226cab，两式联立解得218a，28b，所以所求双曲线的标准方程为221188xy．错因分析:错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在x轴上，从而导致漏解．解析:当双曲线的焦点在x轴上时，由23ba且22226cab，两式联立解得218a，28b，所以所求双曲线的标准方程为221188xy；当双曲线的焦点在y轴上时，由23ab且22226cab，两式联立解得28a，218b，所以所求双曲线的标准方程为221818yx．综上，所求双曲线的标准方程为221188xy或221818yx．易错点10忽略抛物线的焦点所在位置的讨论典例.设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.错解:易知准线方程为x＝－m4，因为准线与直线x＝1的距离为3，所以准线方程为x＝－2，所以－m4＝－2，解得m＝8，故抛物线方程为y2＝8x.7错因分析:题目条件中未给出m的符号，当m0或m0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．解析:当m0时，准线方程为x＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m＝8.此时抛物线方程为y2＝8x；当m0时，准线方程为x＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.易错点11忽略椭圆的范围典例.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率32e，已知点3(0,)2P到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．错解:由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，则22222222314cabbeaaa，故2214ba，即2ab．设椭圆上的点(,)xy到点P的距离为d，则222222222331()(1)()3()43222ydxyayybb，所以当12y时，2d取得最大值，从而d取得最大值，所以2243(7)b，解得21b，24a．故所求椭圆的标准方程为2214xy．8错因分析:错解中“当12y时，2d取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点(,)xy在椭圆上，所以byb，因此在求2d的最大值时，应分类讨论．解析:由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，则22222222314cabbeaaa，故2214ba，即2ab．设椭圆上的点(,)xy到点P的距离为d，则222222222331()(1)()3()43222ydxyayybb，若12b，则当yb时，2d取得最大值，从而d取得最大值，于是223(7)()2b，解得31722b，与12b矛盾，故12b，所以当12y时，2d取得最大值，从而d取得最大值，所以2243(7)b，解得21b，24a．故所求椭圆的标准方程为2214xy．易错点12忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况典例.若过点(1,1)P且斜率为k的直线l与双曲线2214yx只有一个公共点，则k___________．错解：由题意可得:(1)1lykx，代入双曲线方程得2222(4)2()250kxkkxkk．由题意可知22224()4(4)(25)0kkkkk，解得52k．错因分析：错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．解析：由题意可得:(1)1lykx，代入双曲线方程得92222(4)2()250kxkkxkk．当240k，即2k时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当240k时，22224()4(4)(25)0kkkkk，解得52k．综上，当52k或2