导数的概念1

《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室1.导数的概念2.导数的运算3.隐函数及参数方程的函数的求导法则4.高阶导数5.微分第二章导数与微分《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室1.变速直线运动的瞬时速度tSS设有一质点作变速直线运动,其运动方程为§1导数的概念一.引例求:质点在0tv时刻的瞬时速度0t《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室ttsttsvtv000ttsttsvtv0000t时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0tstts00由于速度是连续变化的,分析：可以近似地用平均速度代替0tv瞬时速度v《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室vtstt00limlim于是当时,0t的极限即为ts0tvt越小,近似的程度越好ttsttstvt0000lim《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室称为曲线L上点P处的切线2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQxTxx00xy《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室设曲线L的方程为y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQxTxx00xy《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.xxfxxfx)()(lim000即:xykx0limtan函数的增量与自变量增量之比,《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室二.导数的定义000000)()(lim)()(limlim0xxxfxfxxfxxfxyxxxx1.导数定义:存在,若极限设函数在的某个邻域内有定义,)(xfy0x则称函数在处可导,并称此极限值)(xf0x为函数在点处的导数()fx0x记作:)('0xf0'xxy0xxdxdy0xxdxdf0xxxf或《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室0000000)()(lim)()(lim)('xxxfxfxxfxxfxfxx即同时也称为I内的可导函数)(xf.)(.xf的导函数这个函数叫做原来函数导数值)(xdfdy.),(,dxdxxfy或记作)(,xfIx的一个确定的都对应着对于任一《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室三.用导数定义求导数——求导三步曲(1)求增量:;)()(xfxxfyxy(2)算比值:;xyyx0lim(3)取极限:.《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室例1求常数函数y=C(C为常数)的导数解(1)求增量:c，yxcy都等于取什么值时不论因为,0y所以0xy(2)算比值(3)取极限:0lim0xyyx0)('c即《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室例2.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解xxfxxfxfx)()(lim)(0.ln)(aaaxx即.)(xxeexaaxxxx0limxaaxxx1lim0aaxln《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室例3求函数f(x)=sinx的导数.解00()()sin()sin()limlimhhfxhfxxhxfxhh0sin2limcos()cos,22hhhxxh01lim2cos()sin22hhhxhxxcos)(sin'即xxsin)(cos'同理可得，余弦函数的导数《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室例4求函数f(x)=㏒ax(a0,a≠1)的导数.'00()()log()log()limlimaahhfxhfxxhxfxhh解0011limloglimlog(1)aahhxhxhhhxhx0log(1)11lim.lnahhxhxxax'1(log).lnaxxa即《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室四.左导数和右导数定理:左导数：右导数：《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室五.函数的可导性与连续的关系1.若函数y=f(x)在点处可导，则f(x)在点处连续.x0x02.尽管函数y=f(x)在点处连续，但f(x)在点处不一定可导.x0x03.若函数y=f(x)在点处不连续，则f(x)在点处不可导.x0x0《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室处的连续性与可导性在讨论函数例0)(5xxxfy解0,0,)(xxxxxxfyxxfxfy00)0()0(0limlim00xyxx处连续在所以0xxy《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室1limlim00xxxyxx－－又因为1limlim00xxxyxx不可导在所以处左右导数不相等，在00xxyx《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室处的连续性与可导性在讨论函数例00,10,12)(62xxxxxxf解x=0是分段函数的分段点，讨论其连续性与可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论.1)12(lim)(lim00xxfxx－－1)0(,1)1(lim)(lim200fxxfxx1)0()(lim)(lim00fxfxfxx－因而.0)(处连续在所以xxf《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室21]1)0(2[lim)()0(limlim000xxxxfxfxyxxx01]1)0[(lim)()0(limlim2000xxxxfxfxyxxx.0)().0()0(处不可导在所以因而xxfff《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室六.导数的意义1.导数的几何意义)(xfy)(0'xf0x在点处的导数在几何上表示曲线)(xfyxyαM0x))(,(00xfxM在点处的切线的斜率,tan)(0'xf即《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室如果函数)(xfy在点0x处可导,))(()(00'0xxxfxfy则曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线方程为)()(1)(00'0xxxfxfy0)(0'xf如果)(0'xf为无穷大,切线方程为0xx曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的法线方程为《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室例7.求曲线2xy在点（1,1）处的切线和法线方程.21xyK切解:因为根据导数的几何意义,2xy.012),1(21yxxy即故所求的切线方程为法线方程为.032),1(211yxxy即《应用数学》精品课程——电子教案山东水利职业学院数理化教研室2.导数的物理意义对于不同的物理量有不同的物理意义).()()()(ttttt速度，即对时间的导数，就是角的函数，度，它是时间是物体绕一轴旋转的角变速直线运动位移函数s=s(t)的导数就是速度，即)()(tvts).()()()(titQttQttQQ物导数，就是电流，即对时间的函数，，它是时间是通过导体截面的电量