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§1命题(一)第一章常用逻辑用语学习目标1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一命题的概念及分类思考下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集.(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.答案共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假.梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以的叫作命题.(2)命题定义中的两个要点：“可以”和“”.我们学习过的定理、推论都是命题.(3)分类命题真命题：判断为的语句，假命题：判断为的语句.真假判断真假陈述句判断真假陈述句知识点二命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”.其中p叫作命题的，q叫作命题的.(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.条件结论知识点三四种命题四种命题的定义如下表所示名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的______互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的和结论的，我们把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的______结论和条件逆命题否定否定否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的_________结论的否定和条件的否定逆否命题[思考辨析判断正误]1.命题均能判断其真假.()2.我们所学习过的定理均为命题.()3.命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题.()4.命题：若sinA＞sinB，则A＞B，其逆命题为真命题.()√√××题型探究类型一命题的概念及真假判断命题角度1命题的概念例1判断下列语句是不是命题，并说明理由.解因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题.解答(1)π3是有理数；解“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？解“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题.(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；解答(5)一个数的算术平方根一定是负数；解“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.(6)若a与b是无理数，则ab是无理数.解“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.解“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题.反思与感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.跟踪训练1下列语句是命题的是①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤答案√解析解析依据命题定义，得①②③为命题.③直线x＝π2是函数y＝sinx的一条对称轴；④在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC是钝角三角形.命题角度2命题真假的判断例2给定下列命题：①若ab，则2a2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；答案解析其中为真命题的是________.①③④1.本例中命题④变为：若AB→·BC→0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？引申探究解不是真命题，AB→·BC→0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形.解答2.本例中命题④改为：若AB→·BC→＝0，则△ABC是________三角形.解析由AB→·BC→＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形.直角答案解析反思与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.答案解析跟踪训练2(1)下列命题中假命题的个数为①多边形的外角和与边数有关；②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)0.A.1B.2C.3D.4√解析因为Δ＝4＋4a20，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.答案解析(2)下列命题中为真命题的是A.若lnx＜1，则x＜eB.若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥cC.已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列D.在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acosB＝bcosA，则该三角形为等腰三角形√解析对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不成立；对于C，若an＝0，则结论不成立.类型二命题的结构形式例3将下列命题写成“若p，则q”的形式.(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.解答解若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.解若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根.反思与感悟将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则跟踪训练3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.解答解若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题.解若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题.解已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题.类型三四种命题的概念及真假判断命题角度1四种命题的概念例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题√答案(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题.解逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下.否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上.解答反思与感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.解答解逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2四种命题的真假判断例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解逆命题：若ac2bc2，则ab.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.解答解逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练5已知命题“若2m－1＜x＜3m＋2，则1＜x＜3”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.解析其逆命题为若1＜x＜3，则2m－1＜x＜3m＋2.13，1该命题为真命题，需满足2m－1≤1，3m＋2≥3，解得13≤m≤1，故m的取值范围为13，1.答案解析达标检测答案解析1.下列语句为命题的是A.2x＋5≥0B.求证对顶角相等C.0不是偶数D.今天心情真好啊√12345解析结合命题的定义知C为命题.答案解析123452.下列说法中错误的是A.命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B.命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”C.命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D.命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”解析由否命题的定义知B是错误的.√答案解析123453.命题“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题是A.若a＋b≤2017且a≤－b，则a＜bB.若a＋b≤2017且a≤－b，则a＞bC.若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜bD.若a＋b≤2017或a≤－b，则a≤b解析将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题.“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜b”.故选C.√答案解析123454.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为______________________.解析由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.(－∞，－4]∪[4，＋∞)123455.命题：3mx2＋mx＋10恒成立是真命题，求实数m的取值范围.解“3mx2＋mx＋10恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.当m＝0时，10恒成立，所以m＝0满足题意；当m0，且Δ＝m2－12m0，即0m12时，3mx2＋mx＋10恒成立，所以0m12满足题意.综上所述，实数m的取值范围是[0,12).解答ThenEnd！由Ruize整理