信息论与编码试题集与答案

11.在无失真的信源中，信源输出由H(X)来度量；在有失真的信源中，信源输出由R(D)来度量。2.要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。3.带限AWGN波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)CWSNR；当归一化信道容量C/W趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时Eb/N0为-1.6dB，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。4.保密系统的密钥量越小，密钥熵H(K)就越小，其密文中含有的关于明文的信息量I(M；C)就越大。5.已知n＝7的循环码42()1gxxxx，则信息位长度k为3，校验多项式h(x)=31xx。6.设输入符号表为X＝{0，1}，输出符号表为Y＝{0，1}。输入信号的概率分布为p＝(1/2，1/2)，失真函数为d(0，0)=d(1，1)=0，d(0，1)=2，d(1，0)=1，则Dmin＝0，R(Dmin)＝1bit/symbol，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x)]＝1001；Dmax＝0.5，R(Dmax)＝0，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x)]＝1010。7.已知用户A的RSA公开密钥(e,n)=(3,55)，5,11pq,则()n40，他的秘密密钥(d,n)＝(27,55)。若用户B向用户A发送m=2的加密消息，则该加密后的消息为8。四、计算题1.已知,XY的联合概率,pxy为：求HX，HY，,HXY，;IXY解:(0)2/3px(1)1/3px(0)1/3py(1)2/3py(1/3,2/3)HXHYH0.918bit/symbol,(1/3,1/3,1/3)HXYH=1.585bit/symbol;()()(,)IXYHXHYHXY0.251bit/symbol2.某系统（7，4）码)()(01201230123456cccmmmmcccccccc其三位校验位与信息位的关系为：231013210210cmmmcmmmcmmm01XY011/31/301/32（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵；（2）计算该码的最小距离；（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式；（4）若接收码字R=1110011，求发码。解：1.1000110010001100101110001101G101110011100100111001H2.dmin=33.SE000000000000100000010100000010100000010010100010001110010000011010000011010000004.RHT=[001]接收出错E=0000001R+E=C=1110010(发码)3.若有一信源2.08.021xxPX，每秒钟发出2.55个信源符号。将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输（假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号），而信道每秒钟只传递2个二元符号。（1）试问信源不通过编码（即x10,x21在信道中传输）（2）能否直接与信道连接？（3）若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？（4）试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)，（5）使该信源可以在此信道中无失真传输。解：1.不能，此时信源符号通过0，1在信道中传输，2.55二元符号/s2二元符号/s2.从信息率进行比较，2.55*(0.8,0.2)H=1.841*2可以进行无失真传输x1x1x1x2x2x1x2x20.640.160.160.0410111001010.640.20.1601010.640.360133.410.640.16*20.2*3iiiKpK1.56二元符号/2个信源符号此时1.56/2*2.55=1.989二元符号/s2二元符号/s4.两个BSC信道的级联如右图所示：（1）写出信道转移矩阵；（2）求这个信道的信道容量。解：（1）22122211(1)2(1)112(1)(1)PPP（2）22log2((1))CH１．设Ｘ的取值受限于有限区间［a,b］，则X服从均匀分布时，其熵达到最大；如X的均值为，方差受限为2，则X服从高斯分布时，其熵达到最大。2．信息论不等式：对于任意实数0z，有1lnzz，当且仅当1z时等式成立。3．设信源为X={0，1}，P（0）=1/8，则信源的熵为)8/7(log8/78log8/122比特/符号，如信源发出由m个“0”和（100-m）个“1”构成的序列，序列的自信息量为)8/7(log)100(8log22mm比特/符号。4．离散对称信道输入等概率时，输出为等概分布。5．根据码字所含的码元的个数，编码可分为定长编码和变长编码。6．设DMS为03.007.010.018.025.037.0.654321uuuuuuPUU，用二元符号表}1,0{21xxX对其进行定长编码，若所编的码为{000，001，010，011，100，101}，则编码器输出码元的一维概率)(1xP0.747,)(2xP0.253。7．信息论不等式：对于任意实数0z，有1lnzz，当且仅当1z时等式成立。二、简答题（30分）１．设信源为4/34/121xxPXX，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度；（2）求二次扩展信源的概率空间和熵。解：（1）)(11)(2log/)()3/4(log4/34log4/1)(222XHXHXHXH4（2）二次扩展信源的概率空间为：X\X1x2x1x1/163/162x3/169/16)9/16(log16/9)3/16(log16/3)3/16(log16/316log16/1)(2222XXH三、综合题（20+15+15）１．设随机变量}1,0{},{21xxX和}1,0{},{21yyY的联合概率空间为8/18/38/38/1),(),(),(),(22122111yxyxyxyxPXYXY定义一个新的随机变量YXZ(普通乘积)（1）计算熵H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及H（XYZ）；（2）计算条件熵H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），H（Y|XZ）以及H（Z|XY）；（3）计算平均互信息量I（X；Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X；Y|Z），I（Y；Z|X）以及I（X：，Z|Y）。解：（1）12log2/12log2/1)(12log2/12log2/1)(2222YHXH8/1008/308/308/1111110101100011010001000XYZ8/18/710Z8log8/1)7/8(log8/7)(22ZH8/18/302/111100100XZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222XZHX\Y0101/83/81/213/81/81/21/21/258/18/302/111100100YZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222YZH（2）))3/4(log4/34log4/1(2/1))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222YXH))3/4(log4/34log4/1(2/1))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222XYH)1log10log0(8/1))3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZXH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222XZH)1log10log0(8/1))3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZYH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222YZH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222YZXH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3))3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222XZYH0)|(XYZH(3))|()();(YXHXHYXI)|()();(ZXHXHZXI)|()();(ZYHYHZYI)|()|()|;(YZXHZXHZYXIX\Z0101/201/213/81/81/27/81/8Y\Z0101/201/213/81/81/27/81/86)|()|()|;(ZYXHYXHYZXI２．设二元对称信道的输入概率分布分别为]4/14/3[][XP，转移矩阵为3/23/13/13/2|XYP，（１）求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量；（２）求信道容量和最佳输入分布；（３）求信道剩余度。解：（1）信道的输入熵4log4/1)3/4(log4/3)(22XH；6/112/14/12/1][XYP]12/512/7[][YP)5/12(log12/5)7/12(log12/7)(22YH)6/1,12/1(4/1)4/1,2/1(4/3)|(HHXYH)|()();(XYHYHYXI（2）最佳输入分布为]2/12/1[][XP，此时信道的容量为)3/1,3/2(1HC(3)信道的剩余度：);(YXIC３．设有ＤＭＣ，其转移矩阵为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1|XYP，若信道输入概率为25.025.05.0XP，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应的平均差错率。解：8/124/112/112/18/124/112/16/14/1][XYP最佳译码规则：331211)()()(abFabFabF，平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24；7极大似然规则：332211)()()(abFabFabF，平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2。一、填空题（共20分，每空2分）1．信息的基本概念在于它的不确定性。2．按照信源发出的消息在时间和幅度上的分布情况，可将信源分成离散信源和连续信源两大类。3．一个随机事件的自信息量定义为其出现概率对数的负值。4．按树图法构成的码一定满足即时码的定义。5．有扰离散信道编码定理称为香农第二极限定理。6．纠错码的检、纠错能力是指检测、纠正错误码元的数目。7．信道一般指传输信息的物理媒介，分为有线信道和无线信道。8．信源编码的主要目的是提高通信系统的有效性。二、选择题（共10分，每题2分）1.给定xi条件下随机事件yj所包含的不确定度和条件自信息量p(yj/xi)，（D）A．数量上不等，单位不同B．数量上不等，单位相同C．数量上相等，单位不同D．数量上相等，单位相同2.条件熵和无条件熵的关系是：（C）A．H(Y/X)＜H(Y)B．H(Y/X)＞H(Y)C．H(Y/X)≤H(Y)D．H(Y/X)≥H(Y)3.根据树图法构成规则，（D）A．在树根上安排码字B．在树枝上安排码字C．在中间节点上安排码字D．在终端节点上安排码字4.下列说法正确的是：（C）A．奇异码是唯一可译码B．非奇异码是唯一可译码C．非奇异码不一定是唯一可译码D．非奇异码不是唯一可译码