正余弦定理应用举例--公开课一等奖课件

1．仰角、俯角、方位角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．上方下方2．测量问题中主要有测量(1)距离或宽度(有障碍物)(2)高度(底部或顶部不能到达)(3)角度(航海或航空定位)(4)面积3．解决实际问题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理和余弦定理及面积公式求解．(4)将三角形的解还原为实际问题，注意单位与近似计算要求．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°[解析]由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.[答案]D2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°[解析]如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB.而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.[答案]B3．如下图所示，测量河岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.[解析]由原解答得AB＝s·tanθsinβsinα＋β＝30tan60°sin30°sin15°＋30°＝156m.[答案]156m要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．[解]△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝3km在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋(6＋22)2－2·3·6＋22cos75°＝5∴AB＝5km答：A、B之间的距离为5km.[点评与警示]求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的CD)．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平内面的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[解]在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD.所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsinα＋β.[点评与警示]解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求；(2)依题意画出示意图；(3)分析与问题有关的三角形；(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案；(5)注意方程思想的运用；(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识．地面上一旗杆设定为OP，为测得它的高度为h，在地平面上取一基线AB，AB＝200m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.[解]如图，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°AB＝200m，在Rt△AOP中，AO＝OPtan30°＝3h在Rt△BOP中，BO＝OPtan45°＝h在△OAB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB即2002＝3h2＋h2－2×3h·h·cos60°∴h＝2004－3(m)．答：旗杆的高为2004－3m.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5海里，后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0海里后到达海里C，如果下次航行直接从A出发到达C，此海轮应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离(角度精确到0.1°，距离精确到0.01海里)．[解]如图，在△ABC中，AB＝67.5，BC＝54∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°由余弦定理得：AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°≈113.15(海里)由正弦定理可得BCsin∠CAB＝ACsin∠ABC∴sin∠CAB＝BC·sin∠ABCAC＝54.0×sin137°113.15≈0.3255∴∠CAB＝19.0°，75°－19.0°＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15海里．[点评与警示]求解船海测量问题的关键在于根据题意正确画出图形．某补给船在A岛南偏西50°相距12海里的B处，发现货船正由A岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问补给船需以多大的速度，沿什么方向航行才能用2小时赶上货船补充养料？[解]如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，∠BAC＝180°－(50°＋10°)＝120°设补给船的速度为v，则BC＝2v由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝122＋202－2×12×20×(－12)＝784∴BC＝28∴v＝14(海里/小时)又由正弦定理：ACsin∠ABC＝BCsin∠CAB∴sin∠ABC＝AC·sin120°BC＝5314∴∠ABC＝38°13′50°－38°13′＝11°47′.答：补给船需以14海里/小时的速度，沿北偏东11°47′的方向航行才能用2小时赶上货船补充养料．在△ABC中，已知tanB＝3，cosC＝13，AC＝36，求△ABC的面积．[解]设AB、BC、CA的长分别为c，a，b由tanB＝3得B＝60°∴sinB＝32cosB＝12又sinC＝1－cos2C＝223[点评与警示]找准各量关系，把面积问题化为三角形中边角关系求解．由正弦定理得c＝b·sinCsinB＝36×22332＝8又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×13＋12×223＝36＋23∵S△ABC＝－12bcsinA＝62＋83.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．[解]连结BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝12AB·ADsinA＋12BC·CDsinC∵A＋C＝180°∴sinA＝sinCcosC＝－cosA∴S＝12(2×4＋6×4)sinA＝16sinA在△ABD中BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝20－16cosA在△CDB中BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC＝52－48cosC＝52＋48cosA∴20－16cosA＝52＋48cosA∴cosA＝－12又∴0°A180°∴A＝120°故S＝16sin120°＝83.1．用正余弦定理解决的实际问题主要有：(1)测距离或宽度；(2)测高度；(3)测角度；(4)测面积．2．根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，应用正弦定理，余弦定理解这些三角形，得到所要求的量，从而得到实际问题的解．3．正确画出图形是关键，合理选择正弦定理，余弦定理使解题过程更简捷．