第19讲-采样定理及应用

第3章信号与系统的频域分析•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论其特点。•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。•从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一用傅里叶变换作为分析工具。第3章信号与系统的频域分析•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系统对任意信号的响应。•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信号的调制与解调等等。本章主要内容3.1周期信号的分解与合成3.2周期信号的频谱及特点3.3非周期信号的频谱3.4傅氏变换的性质与应用（1）3.5傅氏变换的性质与应用（2）本章主要内容3.6周期信号的频谱3.7系统的频域分析3.8无失真传输系统与理想低通滤波器3.9取样定理及其应用3.10频域分析用于通信系统第19讲取样定理及其应用取样的目的与意义工程中多数物理量都是连续变化的，取样就是每隔一定时间对连续信号进行采样（抽样）而获得的一些样本值。通过讨论对连续信号进行采样所引起的信号在频域的变化，从而得出著名的采样定理，它在理论和实际中都有重要意义。信号抽样的几个问题（1）采样信号仅是原连续信号的一些样本，采样信号能否保留了原信号的全部信息？（2）在什么条件下可以由采样信号恢复原连续信号。（3）利用傅里叶变换这个工具，从频域来回答这些问题。()sft（4）因采样序列不同，得到的采样信号著名的抽样定理对此作了明确的回答。下面讨论冲激采样和脉冲采样两种情况下采样信号的频谱。也不同。本讲主要内容理想采样与实际采样的概念采样信号的频谱采样定理采样信号的恢复时域采样化与频域离散化的对应关系频域采样的概念带限信号及其频谱()Fj带限信号：其频谱宽度有限的信号即满足()0Fjm工程实际中对于脉冲信号，若忽略其占有频带之外的频率分量，则脉冲信号也视为限带信号。本讲仅讨论带限信号的采样问题。()ftsT从连续信号可直观想象为：让连续信号通过一个开关K，开关K每隔时间闭合长为。中“抽取”一系列离散样本得到采样信号，取样过程示意图的一段时间信号的抽样过程所谓抽样(取样或采样)，就是利用抽样脉冲序列从连续信号中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，以表示。)(tp)(tf)(tfst00t0)(tf)(tfs)(tp)(tf抽样过程还可以看成是抽样脉冲序列被连续信号调幅的过程。)(tp用抽样脉冲序列()pt表示开关的数学模型()()()sftftptss1mm(1))(F)(st0)(tft0)(tfst0)(tTsTsTsTsT00)]([tTFsssT10)(sFs22s*(a)(b)(c)(d)(e)(f)理想采样（冲激抽样）信号的频谱是原信号频谱以为周期等幅地重复。幅度变成原来的s1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱1sT1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱若抽样脉冲是冲激序列)()(snTnTtt其傅里叶变换)()()()()()()(snssnTsnTtnTfnTttfttftf在这种情况下，抽样信号是由一系列冲激信号构成其频谱可以利用频域卷积定理求得2()()()sssnnsPjnnT11()()()()()221()()2sssnsssnnsFjFjPjFjnFjnFjnT时域理想抽样的傅立叶变换)(tf0t()Fj01)(tP)1(0t0)(tfs相乘相卷)(sssss00tsT()sFjsT1FTFTFT时域离散化频域周期化)()(nsTnTtt()()ssnpjn)(tf)()(nsTnTtt()Fj()()ssnpjn1()[()]ssnsFjFjnTFTFT相乘相卷积FT21时域理想抽样的傅立叶变换1mm)(F0(d)ss)(Ps2t0)(tft0)(tfst0sTsTsTsT(a)(b)(c))(tp0omss)(sFsT(e)(f)*在周期矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复的，但在重复过程中，幅度不再是等幅的，而是随着变化的。)2(SasT2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱抽样脉冲是周期矩形脉冲()()snptgtnT其傅里叶变换在这种情况下，抽样信号的脉冲顶部不是平的，这种抽样称为自然抽样或实际抽样。)(tfs利用频域卷积定理求得抽样信号的频谱为11()()()()2()22[()]Sa()[()]2snsnsnssnnsFjFjPjFjPnnPFjnFjnT()2()nsnPjPn实际抽样信号的傅立叶变换)(tf0t)(tP0t)(tfs0t)(F0)(P00sT22ssss22sEsE1FTFTFT相乘卷积2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss)(*)(21)(pFFs)(2)(snsssnFnSaTEF实际抽样实际抽样信号的傅立叶变换)()()(nsTnTtttp)()(snnTtGtpnssnp)()()(2)(snnnPp2ssnnSaTEPsnTP1)(1)(snssnFTF)(2)(snsssnFnSaTEF)(*)(21)(pFFs)(*)(21)(pFFs理想抽样与实际抽样的对比分析3抽样定理如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号，著名的抽样定理对此作了明确的回答。抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。)(F0tt)(tft00mm0ssmm0ssmm0)(sF)(sF)(tfss2s2)(tfs(a)(b)(c)抽样信号的频谱及频谱混叠现象（c）低抽样频率时的抽样信号及其频谱（b）高抽样频率时的抽样信号及其频谱（a）连续信号及其频谱抽样信号的频谱及频谱混叠现象观察抽样信号的频谱随抽样频率的变化不满足抽样定理时产生频率混叠现象)(1F0)(sF0)(tf0tsT10tss)(tfsTsTsssT1mm)(1F0sssT1ms23.抽样定理时域抽样定理：时域抽样定理表明，一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值唯一地表示，只要抽样间隔不大于，其中为信号的最高频率，或者说，抽样频率满足条件通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。mm,sTnfsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211)(tf)(tf4.采样信号的恢复)(Sa)(tTthCCsCsT00sTcc)(H)(F0tmm0ssmm0)(sF)(tfst0t)(tf(a)(b)(c)连续时间信号的重建就是如何从抽样信号恢复原连续信号。从图可见，在满足抽样定理的条件下，为了从频谱中无失真地选出，可用一个截止频率为的理想低通滤波器。)(tfmcs2)(tfs因为理想低通滤波器的频率特性为所以输出信号频谱为若选定，则有理想低通滤波器的冲激响应为nsssnFTF10)(sCCTHHFFs)()(tSaTthCCsmcs24.采样信号的频域恢复采用冲激抽样，则nsssnsnTtnTfnTttftf)()()()()(根据傅里叶变换的时域卷积定理，得连续低通滤波器的输出信号为)]([Sa)()()()(scnscssnTtnTfTthtftf上式表明，连续信号可以展成函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值即在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为的函数波形，其合成的信号就是原连续信号。只要满足抽样定理的条件，就可以由原连续信号各抽样值，唯一地确定原信号。ms2)(tfSa)(snTf)(tfs)(snTfSa)(tf4.采样信号的时域恢复0t)(tfs)(sFmmss)(th0tcc)(HsT1c)(tf卷积包络sTsT0mm)(F相乘00t)(F取主频带：时域卷积定理：)()()(HFFs)]([)()(*)()(scsncsnTtSanTfthtftf)()(tSathcc)()()(nsssnTtnTftf4.采样信号的恢复实际过程中信号的抽样及重建在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的，主要在以下几方面：（1）在有限时间内存在的信号，其频谱理论上是无限宽的。若忽略其占有频带之外的频率分量，也可以视为带限信号。因此，一般可在信号被抽样之前，首先通过前置通滤波器，使得信号为带限的，这个滤波器就是防混叠低通滤波器。（2）实际中的抽样不可能是理想的冲激抽样，也不会是自然抽样，是平顶的矩形脉冲抽样。因此，抽样信号的频谱在周期化过程中就不会是的完全重复，而是要受到的加权。解决这个问题的办法是在低通滤波器之前，加一个补偿低通滤波器，该滤波器的频率响应为。（3）要从抽样信号中恢复原连续信号，必须用理想低通滤波器，而理想低通滤波器物理上是不可实现的，工程中只能逼近理想低通滤波器的特性。)(F)(P)(/1P思考与练习()ftsf1(2)3ft1.对进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为，则对进行取样，其奈奎斯特取样频率为（）()3sAf1()3sBf()3(2)sCf1()(2)3sDf()(100)ftSatsf2.信号其最低取样频率为（）100()A200()B()100C()200D