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荆州中学2018-2019学年上学期高一年级期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，能求出CUA={2，4}，再由B={2，3}，能求出（CUA）∪B．【详解】∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴CUA={2，4}，∴（CUA）∪B={2，3，4}．故选：D．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2.函数图象恒过的定点构成的集合是（）A.{-1，-1}B.{（0,1）}C.{（-1,0）}D.【答案】C【解析】【分析】解析式中的指数x+1=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．【详解】由于函数y=ax经过定点（0，1），令x+1=0，可得x=﹣1，求得f（﹣1）=0，故函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（﹣1，0），即函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1）图象恒过的定点构成的集合是故{（﹣1，0）}，故选：C．【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．3.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】对于A：因为1,所以在整个定义域内单调递增；故A错；对于B：在上递减，如，时，有则不能说整个定义域内单调递减，故B错；对于C：在整个定义域内单调递减，故C对；对于D：在递减，在递增，故D错；故选C4.函数一定存在零点的区间是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵函数在上的连续函数，∵，，∴，由函数零点的判定定理可知：函数在区间内存在零点，故选A.5.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式分别对四个特设条件进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负．【详解】sin（﹣1000°）=sin（﹣2×360°﹣280°）=﹣sin280°=cos10°＞0，cos（﹣2200°）=cos（﹣6×360°﹣40°）=cos40°＞0，tan（﹣10）=﹣tan（3π+0.58）=﹣tan（0.58）＜0=﹣=＞0故选：C．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题时应正确把握好函数值正负号的判定．6.函数（）的图象可能是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的单调性，在判断函数恒过点，问题得以截距.【详解】当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，且当时，，即函数恒过点，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中根据指数函数的单调性分类讨论和判定函数恒过定点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：函数定义域是，即，从而知，所以的定义域为，因此对于，则必须满足，从而，即函数的定义域为，故选择A.考点：复合函数的定义域.8.设角是第二象限的角，且，则角是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【答案】C【解析】【分析】根据α的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断的范围．【详解】由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos|=﹣cos，∴cos＜0，∴是第三象限角．故选：C．【点睛】本题的考点是三角函数值的符号判断，需要利用题中三角函数的等式以及角的范围和“一全正二正弦三正切四余弦”，判断角所在的象限．9.已知，并且是方程的两根，实数的大小关系可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先设g（x）=（x﹣m）（x﹣n），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，然后结合图象判定实数α，β、m、n的大小关系即可．【详解】设g（x）=（x﹣m）（x﹣n），则f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2，分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，如图，由图可知：m＜α＜β＜n．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，关键是对m，n，α，β大小关系的讨论，为了避免这种讨论采用数形结合的方法来解题．10.已知函数，记，则大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】所以函数R上单调递减；，故即故选A11.下列命题中，正确的有（）个①对应：是映射，也是函数；②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时，方程恒有两个实根.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②若函数的定义域是（1,2），则故函数的定义域为，故②对对于③幂函数的图像过，图像过所以两个图像有且只有两个交点；故③对；对于④当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；故选C点睛：本题是命题判断题，考查了映射，函数的定义，抽象函数的定义域，幂函数的图像特征，及含函数与方程的零点问题，掌握基础知识，基本题型的处理方法即可.12.已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则原函数方程等价为,作出函数f（x）的图象如图1：图象可知当由时，函数有3个交点，所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，，令，则由根的分布（如图2）可得，即，即，解得，则实数的取值范围是，故选B.点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知是偶函数，且定义域为，则__________．【答案】【解析】本试题考查了函数的奇偶性。解：为偶函数，即解得：为偶函数，所以其定义域一定是关于原点对称，解得：14.函数的单调递增区间为__________．【答案】(-3，或（-3，-1）【解析】由得，即函数的定义域为，设，则抛物线开口向下，对称轴为，∵在定义域内单调递增，∴要求函数的单调递增区间，等价求的递增区间，∵的递增区间是，∴函数的单调递增区间为，故答案为.15.已知函数图像上任意两点连线都与轴不平行，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】由题意可知函数在上是单调函数，所以轴或解得或故答案为或16.已知方程和的解分别为，则＝____.【答案】【解析】【分析】由题意可得方程=和=的解分别为x1和x2，结合函数y=和函数y=互为反函数，易得结果.【详解】由题意可得方程=和=的解分别为x1和x2，设函数y=的图象和直线y=的图象交点为A，函数y=的图象和直线y=的交点为B，线段AB的中点为C，则点C的横坐标为．函数y=和函数y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，且直线y=自身关于直线y=x对称，∴A,B两点关于直线y=x即点C在直线直线y=x易得，即故答案为：6【点睛】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与它的反函数图象间的关系，体现了转化的数学思想，中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）－3；（2）．【解析】试题分析：试题解析：（1）原式；(2)18.已知全集，集合，，.（1）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先求出集合A,B，再求出A补集与B的交集；（2）借助集合的包含关系建立不等式求解：（1）∵，，∴．∵，∴．（2）当时，，，；当时，要，则．∴，∴，即．综上，实数的取值范围为．19.已知二次函数（1）设函数，且函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）设函数，求当时，函数的值域。【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的对称轴，函数g（x）在区间[1，3]上是单调函数，得到关于k的不等式解得即可；（2）利用换元法求出h（x）的解析式，根据函数的单调性即可求出函数的值域【详解】（1）二次函数f（x）=2x2﹣4x+6，函数g（x）=2x2﹣（k+4）x+6，其对称轴方程为：x=∵函数g（x）在区间[1，3]上是单调函数，∴≤1或≥3∴k≤0或k≥8；（2）令t=2x∈[，2]，则h（x）=H（t）=2t2﹣4t+6=2（t﹣1）2+4当t∈[，1]时，H（t）单调递减，当t∈[1，3]时，H（t）单调递增，H（t）min=H（1）=4又H（）＜H（2）=6，所以H（t）max=H（2）=6，∴当x∈[﹣1，1]时，函数h（x）的值域[4，6]．【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）.找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.20.信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人，平均每人每年可创利20万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．1人，则留岗职员每人每年多．．．．．创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？【答案】8160万元【解析】试题分析：分析题意，设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，根据题目条件，又且，利用二次函数轴与区间的位置关系分析单调性即得的最小值.试题解析：设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，由题意：，又且，因为对称轴：，所以函数在[0,80]单调递增，所以时，即银行裁员人，所获得经济效益最大为8160万元，答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.21.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）令，求在上的最值.【答案】（1）；（2）ⅰ当时，,ⅱ当时，ⅲ当时，,ⅳ当时，.【解析】试题分析：（1），令，，所以；（2），，分类讨论。试题解析：（1），令，此时有，.（2），令，此时有，ⅰ当时，；；ⅱ当时，；；ⅲ当时，；；ⅳ当时，；；22.已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；(2)若，①求的值；②求实数的取值范围，使得方程有负实数根.【答案】(1)是上的减函数;（2）①;②的取值范围【解析】试题分析：（1）利用定义证明：任取，且，，，下结论（2）①先赋值求得，再令可解得②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.对进行分类讨论，分与两种情况.试题解析：解：（1）任取，且，，，是上的减函数；（2）①，，又，因为，，②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.记，当时，，解得，满足条件；当时，函数图像是抛物线，且与轴的交点为（0，-1），方程有负实根包含两类情形：①两根异号，即，解得；②两个负实数根，即，解得.综上可得，实数的取值范围点睛：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力．